Comparación de funciones lineales, exponenciales y cuadráticas

Funciones Modelado de productividad

¡Es el día de la evaluación en el trabajo! No te pongas nervioso. ¡Serás tú quien haga la evaluación! En la empresa XYZ, se le pide que observe y registre la productividad de tres trabajadores (Sean, Billy y Tom) durante una jornada de ocho horas para evaluar su trabajo y determinar a cuál de estos empleados debería promover la empresa para capacitar a otros empleados.

Al observarlos, verá que la tasa de productividad de Sean aumenta a una tasa constante durante el período de ocho horas. Billy tardó un poco en ponerse en marcha, por lo que su tasa de productividad comenzó bastante lenta y luego aumentó cada vez más rápidamente. Por último, Tom tuvo un pequeño accidente y se lastimó la mano después de unas cuatro horas de trabajo. Debido a esto, su tasa de productividad comenzó a aumentar y luego alcanzó su punto máximo, pero debido a su accidente, se desaceleró durante las siguientes cuatro horas.

Decide graficar las tasas de productividad del trabajador durante el período de tiempo de ocho horas.

Observe que todos los gráficos toman una forma diferente según los patrones que tomó el día de cada trabajador. ¡Aquí es donde las cosas se ponen interesantes! Verá, cada una de estas funciones que modelan la productividad del trabajador son modelos matemáticos específicos. Estos incluyen funciones lineales, exponenciales y cuadráticas. Echemos un vistazo a cada una de estas funciones y veamos cómo se comparan entre sí.

Funciones lineales

Las funciones lineales son funciones que se utilizan para modelar fenómenos que aumentan o disminuyen a una tasa constante. Estos tipos de funciones son funciones polinomiales con un exponente más alto de uno en la variable. Las gráficas de estas funciones tienen forma de línea. ¿Cuál de la productividad del trabajador parece adoptar este patrón? Si estás pensando que la productividad de Sean parece seguir este patrón, ¡tienes razón! Vemos que la gráfica de Sean es la gráfica de una línea y sabemos que su tasa de productividad aumenta a una tasa constante. También sucede que la función correspondiente a este gráfico es:

s ( x ) = 12,5 x

Vemos que el máximo exponente de la variable, x , es uno.

La función que representa la tasa de productividad de Sean es una función lineal, y vemos los patrones que adoptan las funciones lineales. Además, observe que Sean alcanza una tasa de productividad del 100% al final del día. ¡Toma nota de que está haciendo un excelente trabajo! ¡Hacia adelante!

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son funciones que tienen la variable en el exponente. Aumentan o disminuyen lentamente y luego rápidamente o rápidamente y luego lentamente. Por lo tanto, se utilizan para modelar fenómenos que adoptan este patrón, ¡al igual que la tasa de productividad de Billy! Podemos modelar la tasa de productividad de Billy con la función exponencial:

b ( x ) = 1,75 x – 1

Observe que la variable, x , está en el exponente de 1.75, como dijimos que sucede en una función exponencial. También vemos que la gráfica de la función de Billy comienza aumentando lentamente, pero luego aumenta mucho más rápidamente a medida que avanza el día.

Ahora sabemos que la función que representa la tasa de productividad de Billy es una función exponencial. Vemos que al final del día, Billy no tiene una productividad del 100%, pero está bastante cerca. Lo grabas haciendo un gran trabajo y pasas a Tom.

Funciones cuadráticas

Bien, por último, pero no menos importante, eche un vistazo a Tom. Observa que la tasa de productividad de Tom aumenta, alcanza su punto máximo y luego disminuye debido a su accidente. Este es el patrón que adopta una función cuadrática. Una función cuadrática es una función polinomial con el máximo exponente de dos. Este tipo de funciones se utilizan para modelar fenómenos que aumentan y alcanzan un máximo y luego disminuyen, o disminuyen y alcanzan un mínimo y luego aumentan. Sus gráficos se ven como una U o una U invertida.

La función que modela la tasa de productividad de Tom es:

t ( x ) = -4 x 2 + 32 x

que es una función polinomial con mayor exponente igual a dos, exactamente la definición de una función cuadrática. También observamos que la gráfica de la función aumenta, alcanza un máximo y luego disminuye, solidificando el hecho de que esta es una función cuadrática.

Aunque Tom tuvo un accidente al mediodía, puede ver que su tasa de productividad fue buena hasta entonces. Escribe que está haciendo un buen trabajo, entendiendo que ocurren accidentes.

Sus observaciones muestran que los tres empleados están haciendo un gran trabajo, por lo que su recomendación sobre a quién promover es difícil de hacer. Afortunadamente, tiene sus funciones para ayudarlo. El empleado que realmente alcanza una tasa de productividad del 100% es Sean, mientras que los otros dos no llegan allí durante el día. En base a esto, decide recomendar a Sean para la promoción ya que su patrón de trabajo diario parece resultar en la tasa de productividad más alta. Es genial que hayas podido resolver todo esto usando matemáticas, ¿eh?

Resumen de la lección

Se pueden usar funciones lineales, exponenciales y cuadráticas para modelar fenómenos del mundo real. Debido a que cada tipo de función tiene características diferentes, determinamos cuál usar en función del patrón que adopte el fenómeno.

Por ejemplo, las gráficas de funciones lineales aumentan o disminuyen a una tasa constante, las gráficas de funciones exponenciales aumentan o disminuyen lentamente al principio y luego más rápida o rápidamente al principio y luego más lentamente, y las gráficas de funciones cuadráticas aumentan, alcanzan un máximo, luego disminuir o disminuir, alcanzar un mínimo y luego aumentar. Algebraicamente, las funciones lineales son funciones polinomiales con un exponente más alto de uno, las funciones exponenciales tienen una variable en el exponente y las funciones cuadráticas son funciones polinomiales con un exponente más alto de dos.

Al comparar y analizar este tipo de funciones, como hicimos con los empleados de la Compañía XYZ, podemos comprender mejor cuál usar para modelar un escenario dado. ¿No son buenas las matemáticas?

Rodrigo Ricardo Editor y fundador