Definición de cóncavo
La definición de cóncavo es curvarse hacia adentro. Por ejemplo, considere la siguiente imagen de un cráneo fracturado.
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En el lugar de la fractura, vemos que el cráneo está curvado hacia adentro, por lo que diríamos que el cráneo es cóncavo. Algunos otros ejemplos serían una lata abollada o un parachoques de automóvil. Siempre que un objeto se curva hacia adentro, decimos que el objeto es cóncavo.
En matemáticas, el término cóncavo se puede aplicar a formas y funciones. Repasemos lo que significa que una forma sea cóncava y lo que significa que una función sea cóncava.
Forma cóncava
Acabamos de ver que la definición de cóncavo es curvarse hacia adentro. Así es también como describiríamos una forma cóncava. Una forma que se curva hacia adentro es una forma cóncava. La definición formal de una forma cóncava es una forma en la que es posible dibujar dos puntos dentro de la forma y la línea que conecta los dos puntos sale de la forma. Esto se ilustra en la siguiente imagen:
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Observe que la forma de la imagen de arriba parece hundida. Debido a que el nombre cóncavo incluye la palabra ‘cueva’, es fácil recordar que una forma cóncava es una forma que parece hundida en algún lugar.
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Cuando se trata de polígonos (formas creadas con tres o más segmentos de línea), existe otra regla que nos ayuda a reconocer un polígono cóncavo. Es decir, un polígono es cóncavo cuando al menos uno de sus ángulos internos es mayor de 180 grados.
Consideremos un no ejemplo, como un círculo, que se curva hacia afuera en todas partes y no parece hundido en ninguna parte. Mira la siguiente imagen de un círculo:
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Observe que no importa dónde coloque dos puntos dentro de un círculo, la línea que conecta los dos puntos nunca sale del círculo. Por tanto, un círculo no es cóncavo; cuando una forma no es cóncava, la llamamos convexa .
Función cóncava
La concavidad de una función tiene que ver con la pendiente de una función. Recuerde que la pendiente de una función es la tasa a la que la función aumenta o disminuye y se puede encontrar calculando el cambio en y dividido por el cambio en x . Cuando la pendiente de una función aumenta, decimos que la función es cóncava hacia arriba , y cuando la pendiente de una función disminuye, decimos que la función es cóncava hacia abajo . Esto se ilustra en la siguiente imagen:
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Decir que una función es cóncava es sinónimo de decir que una función es cóncava hacia abajo. Por lo tanto, una función es cóncava cuando la pendiente de la función es decreciente. Por ejemplo, la función y = – x ^ 2 es cóncava. En la siguiente imagen, observe que la pendiente de y = – x ^ 2 siempre es decreciente.
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Ejemplos
Considere las siguientes formas. ¿Cuáles son cóncavos?
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1.) En esta imagen, podemos dibujar dos puntos dentro de la forma y conectarlos con una línea que va fuera de la forma, como se ilustra a continuación. Por tanto, la forma es cóncava.
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2.) Esta es una imagen de un cuadrado. Observe que no podemos dibujar dos puntos dentro del cuadrado y hacer que la línea que los conecta salga fuera del cuadrado. Por tanto, el cuadrado no es cóncavo. Diríamos que el cuadrado es convexo.
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3.) De manera similar al primer ejemplo, podemos dibujar dos puntos dentro de esta forma y conectarlos con una línea que salga de la forma, como se ilustra a continuación. Por tanto, la forma es cóncava.
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Consideremos un ejemplo más. Considere la función y = x ^ 2, como se muestra en la siguiente imagen:
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Observe que la pendiente de la función aumenta constantemente. Por tanto, la función no es cóncava.
Resumen de la lección
Ser cóncavo significa curvarse hacia adentro. En matemáticas, podemos tener formas cóncavas y funciones cóncavas. Para que una forma sea cóncava, la forma debe parecer hundida. Es decir, debe ser posible dibujar dos puntos dentro de la forma y conectarlos con una línea que salga de la forma. Cuando una forma no es cóncava, decimos que la forma es convexa. Para que una función sea cóncava, la pendiente de la función debe ser decreciente. En otras palabras, una función cóncava es cóncava hacia abajo. Ahora hemos visto lo que significa que una forma y una función sean cóncavas.
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