Derivadas: Representaciones gráficas

Tasa instantánea de cambio

La tasa de cambio promedio es cero

Echemos otro vistazo a Super C, nuestra bala de cañón humana, y veamos específicamente su altura en función del tiempo. Aquí estoy diciendo h = f (t) . Ahora, para algunos detalles, ¿qué sabemos? Sabemos que su tasa de cambio promedio es cero, porque su punto final y su punto de inicio son ambos cero. También sabemos, por el teorema de Rolle, que la tasa instantánea de cambio en algún lugar a lo largo de su trayectoria también será cero. Sabemos que en algún lugar de este camino hay una tangente a esta curva que es igual a cero, pero ¿cómo lo encontramos?

Bueno, comencemos a acercarnos a algunos puntos. Miremos específicamente en t = 1. Ahora, si nos acercamos y queremos estimar cuál es la velocidad de Super C en t = 1, lo que podríamos hacer es ver qué tan alto está en t = 1, que es f (1), y compararlo con qué tan alto está en poco tiempo después, 1 + delta t . Para encontrar su velocidad promedio entre estos dos puntos, simplemente tomaríamos su altura en el tiempo 1 + delta t , restaríamos su altura en t = 1 y dividiríamos eso por delta t . Esto nos daría una idea bastante clara de su velocidad, que es la pendiente, la tangente en particular, en t = 1.

Pendientes como tangente

A medida que delta t llega a cero, la región se hace más pequeña hasta que la pendiente es igual a la tangente.

Podríamos escribir esto para cualquier momento en que la pendiente sea aproximadamente igual a ( h ( t + delta t ) – h (t) ) / delta t . A medida que delta t llega a cero, la región que estamos viendo se hace cada vez más pequeña y, finalmente, la pendiente será igual a la tangente. Eso sucederá cuando delta t llegue a cero. Así que vamos a escribir que la tangente en h (t) es igual al límite cuando delta t se acerca a cero de ( h ( t + delta t ) – h (t) ) / delta t. Esta es la tangente a la curva; esta es la derivada de h (t) .

Resumen de la lección

Una de las partes más fundamentales del cálculo es que la derivada de cualquier punto es igual a la tangente de la curva en ese punto. Entonces, cuando volvemos a Super C, la tangente de su altura en función del tiempo, y en cualquier punto a lo largo de esa curva, es igual a la derivada en ese punto.

Si encontramos donde la derivada es igual a cero, donde la tasa de cambio instantánea es igual a cero, entonces esta gráfica tiene una tangente igual a cero y la derivada es cero.