Desarrollo de distribuciones de probabilidad continua en teoría y búsqueda de valores esperados

Procesos y variables aleatorios

Todos estamos familiarizados con procesos que implican incertidumbre. Un ejemplo es lanzar una moneda, en la que existe una incertidumbre inherente sobre si caerá cara o cruz, y lo mejor que podemos hacer es asignar probabilidades a todos los resultados posibles.

En esta lección, aprenderá acerca de las distribuciones de probabilidad continua desde una perspectiva teórica, así como también cómo encontrar los valores esperados.

Matemáticamente, podemos tratar estos procesos definiendo variables aleatorias y la función de distribución de probabilidad. Una variable aleatoria es una variable que describe todos los posibles resultados de un proceso aleatorio.

Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. Las variables aleatorias discretas implican procesos en los que se puede contar el número total de resultados posibles. Por ejemplo, lanzar una moneda al aire se puede caracterizar por una variable aleatoria discreta. Podemos describir los posibles resultados utilizando una variable aleatoria, X :

Por el contrario, las variables aleatorias continuas implican procesos en los que el número total de resultados posibles no es contable. Un ejemplo sería el tiempo que le toma a un atleta al azar correr una milla. Dado que, al menos en teoría, el tiempo se puede medir con una precisión infinita, hay un número incontable de posibles medidas de tiempo. Por ejemplo, podemos medir el tiempo en 6.2 minutos o 6.23 minutos o 6.234 minutos, y así sucesivamente.

Por lo tanto, definimos una variable aleatoria continua, X , asociada con las mediciones de tiempo para una carrera de una milla. Suponiendo que el tiempo más rápido no puede ser inferior a 3,5 minutos y el tiempo más largo no puede exceder los 11 minutos, definimos la variable aleatoria como un intervalo:

Ahora, usemos esta variable aleatoria para desarrollar la teoría detrás de las distribuciones de probabilidad continua.

Distribuciones de probabilidad continua

Dado que cualquier medición de tiempo para la carrera de una milla puede tener una precisión infinita, la curva de la función de distribución de probabilidad será continua. Esto implica que para cualquier medida x sub 1 , existe un valor correspondiente para f (x sub 1) , y f (x) también se conoce como la función de densidad de probabilidad , una función de distribución de probabilidad continua. Un ejemplo es la distribución gaussiana:

Las distribuciones de probabilidad continua pueden tener muchas otras formas, siendo la gaussiana solo un ejemplo. Siempre que podamos asignar cualquier valor x sub 1 a una f correspondiente (x sub 1) , la distribución de probabilidad es continua.

Cálculo del valor esperado

El valor esperado , que puede considerarse como el resultado que deberíamos esperar en promedio, se calcula utilizando la siguiente fórmula para distribuciones de probabilidad discretas:

Dentro de la suma para calcular el valor esperado, E (x) , tenemos los valores que puede tomar la variable aleatoria, denotados por x sub K , que se multiplican por sus probabilidades correspondientes, denotados por P (x sub K) .

Volvamos al ejemplo anterior de lanzar una moneda dos veces y contar el número de veces que cae cara. Podemos calcular el valor esperado de la siguiente manera.

Después de dos lanzamientos de moneda, los posibles resultados de que la moneda caiga en cara son 0, 1 y 2:

Existe una posibilidad de que la moneda caiga en cruz en ambas ocasiones,

dos posibilidades para que la moneda caiga cara en uno de los lanzamientos,

y una posibilidad de que la moneda caiga cara en ambas ocasiones.

Al colocar números en nuestra fórmula de antes, obtenemos la siguiente respuesta:

El resultado implica que si lanzáramos una moneda dos veces, deberíamos esperar que caiga cara en uno de los dos lanzamientos.

El valor esperado, E (x) , de una distribución de probabilidad continua, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

Sabiendo esto, veamos otro ejemplo. Suponga que la función de densidad de probabilidad, f (x) , es igual a 2 x . Además, suponga que el intervalo en el que f (x) toma valores distintos de cero está entre 1 y 5, como se muestra en la pantalla:

Entonces podemos calcular el valor esperado de la siguiente manera:

Al conectar y tragar, nuestra respuesta es 82,7.

Resumen de la lección

Discutimos el significado de las variables aleatorias discretas y continuas, con un enfoque en la teoría detrás de las distribuciones de probabilidad continua.

Una variable aleatoria es una variable que describe todos los posibles resultados de un proceso aleatorio. Las variables aleatorias pueden ser de dos tipos: discretas y continuas.

Una variable aleatoria discreta está asociada con un proceso que tiene un número contable de posibles resultados, como en el lanzamiento de una moneda, mientras que una variable aleatoria continua involucra procesos que tienen un número incontable de posibles resultados, como medidas de altura y peso.

Además, la función de densidad de probabilidad es una función de distribución de probabilidad continua. También hemos aprendido a calcular los valores esperados para ambos tipos de variables aleatorias. El valor esperado se puede considerar como el resultado que deberíamos esperar en promedio.

El cálculo del valor esperado implica la suma de las variables aleatorias discretas y la integración de las variables aleatorias continuas. Ahora debería sentirse cómodo resolviendo problemas similares usted mismo.

Vocabulario y definiciones

Variable aleatoria : una variable aleatoria es una variable discreta o continua que describe todos los posibles resultados.

Función de densidad de probabilidad : una función de densidad de probabilidad es un gráfico continuo que muestra la distribución de la función.

Valor esperado : un valor esperado es el resultado promedio esperado.

Los resultados del aprendizaje

Después de ver esta lección, debería poder hacer lo siguiente:

• Definir los dos tipos de variables aleatorias
• Explicar las distribuciones de probabilidad continua.
• Encuentra los valores esperados