Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Las relaciones matemáticas con signos iguales (llamadas ecuaciones) son muy comunes. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras es la ecuación a 2 + b 2 = c 2 . Quizás no tan comunes, pero aún increíblemente útiles, son las relaciones matemáticas con signos de desigualdad como la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Aplicaciones
Las aplicaciones de esta famosa desigualdad incluyen álgebra lineal (matrices, vectores y transformaciones), teoría de probabilidad (variables aleatorias, valores esperados y correlación), así como temas importantes en física (principio de incertidumbre y ruido de fotones) e ingeniería (raíz-media- valores cuadrados comparados con los valores máximos de una forma de onda). Usando vectores, haremos un ejemplo que muestra cómo verificar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Pero primero, la historia de fondo.
Historia
Imagínese crecer en Francia durante la Revolución Francesa. Tal fue el destino de Augustin-Louis Cauchy. A pesar de estos tiempos violentos, Cauchy aprendió matemáticas y en 1821 publicó lo que se convertiría en la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Pero, ¿qué pasa con los demás jugadores en este famoso resultado? Karl Hermann Amandus Schwarz, un ex alumno de Cauchy, proporcionó una prueba de la teoría de Cauchy en 1888. Y, el matemático ruso Viktor Yakovlevich Bunyakovsky demostró independientemente la teoría muchos años antes en 1859. Ocasionalmente, esta desigualdad incluye los tres nombres: Cauchy- Desigualdad de Bunyakovsky-Schwarz.
Entonces, ¿cómo se ve esta desigualdad?
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Dos formas de desigualdad de Cauchy-Schwarz
Si utilizamos como vectores x e y , la de Cauchy-Schwarz desigualdad se ve así:
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En palabras, la longitud del producto escalar entre los vectores x e y es inferior o igual al producto de la longitud de cada vector.
Otra forma de desigualdad de Cauchy-Schwarz dice:
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Esta segunda forma se puede derivar de la primera usando triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras. La hipotenusa es x + y . Esta segunda forma de Cauchy-Schwarz dice que la longitud de la hipotenusa no es mayor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. De lo contrario, no podríamos tener un triángulo.
¡Vectores, longitudes y productos puntuales! ¿Cómo le damos sentido a todo esto? Fácil, hacemos un ejemplo.
Ejemplo
Comenzando con x = (2, 3, -2) e y = (-1, 5, 6).
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¿Puedes relacionar la notación entre paréntesis con los vectores unitarios? Las dos formas significan lo mismo, x = (2, 3, -2) es solo una forma corta de escribir el vector.
La » longitud de x » es | x |:
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La respuesta se redondea a dos decimales. Podemos hacer lo mismo al encontrar la longitud de y :
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¿Qué pasa con el producto escalar ?
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En palabras, » x punto y es la suma de productos». Los productos son
- la componente i de x multiplicada por la componente i de y
- la componente j de x multiplicada por la componente j de y
- la componente k de x multiplicada por la componente k de y
El resultado del producto escalar es siempre un número. En nuestro ejemplo, la longitud de este producto escalar es el valor absoluto de 1:
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¡Solo uno más por hacer! Adición de x y y :
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¿Ves cómo sumar vectores es simplemente sumar los componentes i, los componentes j y los componentes k? Sumar vectores produce otro vector.
La longitud de x + y :
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Ahora, volvamos a la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Es | x ⋅ y | ≤ | x | | y | ? Calculamos el lado izquierdo (LHS) y el lado derecho (RHS) por separado:
LHS: | x ⋅ y | = 1
RHS: | x | | y | = 4,12 (7,87) = 32,42
¿Es LHS ≤ RHS? ¿Es 1 ≤ 32,42? ¡Por supuesto que sí!
¿Qué tal la otra forma de Cauchy-Schwarz: | x + y | ≤ | x | + | y |
LHS: | x + y | = 9
RHS: | x | + | y | = 4,12 + 7,87 = 11,99
Una vez más, LHS ≤ RHS verificando la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
¿Se pregunta cómo podríamos igualar el LHS al RHS? Esto sucede cuando los vectores son colineales (un vector es un múltiplo escalar del otro vector). Manteniendo la misma x , podemos hacer y = 2 x .
Por lo tanto, y = 2 (2, 3, -2) = (4, 6, -4).
La longitud de x sigue siendo 4,12 pero la longitud de y es
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El producto escalar de x con y :
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Ahora, la longitud del producto escalar es
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La suma de los dos vectores:
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Y la longitud de esta suma:
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¿Funciona la desigualdad de Cauchy-Schwarz para estos vectores colineales?
Comprobar | x ⋅ y | ≤ | x | | y |
LHS: | x ⋅ y | = 34
RHS: | x | | y | = 4.12 (8.25) = 33.99 ≅ 34. ¡Sí!
¿Qué tal la otra forma: | x + y | ≤ | x | + | y | ?
LHS: | x + y | = 12,37
RHS: | x | + | y | = 4,12 + 8,25 = 12,37. ¡Si!
Usando vectores colineales, obtenemos la parte «igual» de la desigualdad. Cuando los vectores no son colineales, el LHS es menor que el RHS.
Resumen de la lección
La desigualdad de Cauchy-Schwarz dice que las longitudes del producto escalar de los vectores es menor o igual que el producto de las longitudes de los vectores. Otra forma de esta desigualdad dice que la longitud de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de las longitudes de los vectores. La parte «igual» de la desigualdad ocurre cuando los vectores son colineales .
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