Desigualdad lineal: resolución, gráficos y problemas

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¿Qué es una desigualdad lineal?

Una desigualdad lineal es muy similar a una ecuación lineal. Recuerde que una ecuación lineal tiene variables de primer grado solamente, y las variables nunca se elevan al cuadrado, al cubo ni a ninguna otra potencia. Tus ecuaciones lineales podrían haberse parecido a esto:

Las desigualdades lineales se ven muy similares. Sin embargo, en lugar de signos iguales, las desigualdades lineales tienen símbolos de desigualdad muy parecidos a estos:

Entonces, las desigualdades lineales solo tienen variables a la primera potencia y tienen símbolos de desigualdad. Ahora aprendamos a resolver desigualdades lineales.

Cómo resolver

Piense en la última vez que resolvió una ecuación lineal. ¿Recuerdas los pasos que tomaste? Si se le dio un problema como x + 2 = 6, lo más probable es que lo miró y se dio cuenta de que necesita mover el número 2 al otro lado de la ecuación para que su variable esté sola. Entonces, procedió a restar 2 de ambos lados de la ecuación recordando que para mantener una ecuación igual, todo lo que haga en un lado también debe hacer en el otro. Después de restar 2 de ambos lados, su variable está sola y ha resuelto la ecuación lineal. Tu respuesta es x = 4.

Ahora, digamos que te dan un problema como x + 2 <6. Primero notas que, en lugar de un signo igual, tienes un signo de desigualdad. Esto te dice que es un problema de desigualdad lineal. Para resolverlo, usa pasos muy similares a los de resolver ecuaciones lineales. Observa que el 2 está en el mismo lado que su variable. Entonces, para mover el 2, lo resta de ambos lados. El signo de desigualdad sigue siendo el mismo. Tu respuesta es x <4. Para decirle a alguien la respuesta, dirías: Las soluciones son todos números menores que 4.

El signo de desigualdad te da un rango de números que son todas tus soluciones. Para probar una solución, conéctela a la desigualdad y, si el enunciado sigue siendo verdadero, la solución es válida. Por ejemplo, si inserta un 1 en el enunciado x <4, se convierte en 1 <4. Sabe que 1 es definitivamente menor que 4, por lo que el enunciado permanece verdadero y 1 es una solución válida.

Práctica

Probemos una práctica de la desigualdad lineal:

Para resolver, debemos aislar la variable sumando 5 a ambos lados. Luego dividimos ambos lados entre 2 para que la variable sea por sí misma. La solución resultante es x <3, o todos los números menores que 3.

Dividiendo por negativos

Hay un aspecto complicado para resolver desigualdades lineales y es cuando se divide o multiplica por un número negativo. Siempre que este sea el caso, el símbolo de desigualdad cambia de lado. Recuerde esto: es una regla que se olvida fácilmente.

Por ejemplo:

Primero resuelve la desigualdad dividiendo cada lado de la desigualdad por -3. Esto le da x mayor o igual que -2. Ahora, voltea el símbolo para obtener tu solución: x menor o igual que -2. Recuerde, voltee el símbolo de desigualdad cada vez que divida o multiplique por un número negativo.

Cómo graficar

Graficar desigualdades lineales requiere algunos pasos más que graficar ecuaciones lineales. Por ejemplo, para graficar la ecuación lineal x = 4, colocarías un círculo sólido en el número 4 en la recta numérica. Para la desigualdad lineal x <4, también tiene un círculo en el número 4, pero será un círculo abierto. En otras palabras, dibuja un círculo alrededor del número 4. Si la desigualdad fuera menor o igual a, dibujaría un círculo sólido. Para mostrar la parte de desigualdad, dibuja una línea desde el círculo hacia la izquierda que muestra que se incluyen todos los números menores que 4.

Graficar una desigualdad lineal como y > x + 1 es similar a graficar la forma de ecuación lineal y = x + 1. Esta es una ecuación de una línea en forma pendiente-intersección, y la grafica de manera similar. Sin embargo, con las desigualdades, si el símbolo es <o>, entonces dibujará una línea discontinua en lugar de una línea continua. Si el símbolo tiene una parte igual, entonces dibujará una línea continua.

La región sombreada representa la parte de la desigualdad. Piense en la desigualdad lineal y lo que dice. Dice que y es mayor que x + 1. La región sobre la línea le da valores de y que son más grandes, y eso es lo que se sombrea.

Resumen de la lección

Resolver desigualdades lineales es muy similar a resolver ecuaciones lineales. La principal diferencia es que le das la vuelta al signo de desigualdad al dividir o multiplicar por un número negativo. Graficar desigualdades lineales tiene algunas diferencias más. Al graficar en la recta numérica, un círculo abierto es para los símbolos <y>. Un círculo sólido es para los otros dos símbolos. En el gráfico cartesiano, una línea discontinua corresponde a los símbolos <y>. Para representar los otros dos símbolos, se utiliza una línea continua. La parte que está sombreada incluye los valores donde la desigualdad lineal es verdadera.

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