Diferencia entre un vector de fila y columna

Publicado el 23 noviembre, 2020

Vectores

En un curso introductorio de álgebra lineal, pasará mucho tiempo trabajando con vectores. Probablemente ya haya aprendido que un vector es diferente de un escalar en que tiene magnitud y dirección, y los ha visto escritos como una lista ordenada de elementos. Eso es básicamente lo que es, una lista ordenada de elementos, y se diferencia de un escalar por tener magnitud y dirección.

Una vez que entendió qué es un vector, pasó a aprender algunas de las operaciones básicas de vectores. Ejemplos de estos incluyen la suma, resta, multiplicación escalar, producto escalar y producto cruzado de vectores.

vectores de columna y fila

Mientras ha estado trabajando con vectores, es posible que haya notado que tienden a escribirse de dos formas diferentes. Los vectores se pueden escribir vertical u horizontalmente. A estos los llamamos vectores de columna y de fila respectivamente. En esta lección, aprenderá qué diferencia a un vector de columna de un vector de fila.

Vectores de filas y columnas

Para comprender qué hace que los vectores de columna y fila sean diferentes entre sí, en realidad debemos comenzar por mirar matrices, no vectores. Una matriz es una matriz rectangular de elementos. Normalmente clasificamos una matriz por sus dimensiones, que se escriben como el número de filas en la matriz multiplicado por el número de columnas en ella. Por ejemplo, una matriz de 2×2 tiene 2 filas y 2 columnas, una matriz de 3×4 tiene 3 filas y 4 columnas, y una matriz de n x m tiene n filas y m columnas.


Estos ejemplos de matrices muestran cómo determinamos las dimensiones de una matriz.
dimensiones de la matriz

Comprender cómo se clasifican las matrices por dimensión es el truco para ver la diferencia entre los vectores de columna y de fila. Los vectores pueden verse como un tipo especial de matriz, donde una de sus dos dimensiones es siempre igual a 1. Dependiendo de la dimensión que se establezca en 1, obtendrá un vector de columna o de fila. Un vector de columna es una matriz n x1 porque siempre tiene 1 columna y cierto número de filas. Un vector de fila es una matriz de 1x n , ya que tiene 1 fila y cierto número de columnas. Esta es la principal diferencia entre una columna y un vector de fila.


Las dimensiones de los vectores de fila y columna se determinan de la misma manera que las dimensiones de una matriz.
dimensiones de vector de fila y columna

Operaciones

Dado que los vectores de columna y fila pueden verse como matrices, también tiene sentido que las operaciones matriciales también se puedan realizar en ellos. Repasemos un par de operaciones matriciales que dan resultados interesantes cuando se realizan en vectores de columna y fila.

La primera operación que repasaremos es la transposición de matrices. Cuando toma la transposición de una matriz, cambia las filas y columnas dentro de ella. Todas las filas de la matriz se convierten en columnas y viceversa. Dado que los vectores solo tienen 1 fila o 1 columna, esta operación en realidad cambia el tipo de vector que son. Un vector de columna se convierte en un vector de fila y un vector de fila se convierte en un vector de columna.


Estos ejemplos muestran cómo se toma la transposición de una matriz, un vector de fila y un vector de columna.
transposición de matriz y vector

La segunda operación que debemos considerar es la multiplicación de matrices. La multiplicación de matrices es el proceso de multiplicar dos matrices para crear una nueva matriz. Para crear la nueva matriz, tome el producto escalar entre las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda que corresponden con el lugar del elemento que se está creando en la nueva matriz. Este proceso suena un poco complicado y se puede mostrar mejor visualmente, como en esta imagen:


La primera parte de esta imagen muestra los pasos involucrados en la multiplicación de matrices, y la segunda lo guía a través de un problema de ejemplo.
pasos de multiplicación de matrices

Cuando la multiplicación de matrices se realiza entre una columna y un vector de fila, obtiene una respuesta diferente según el orden en que se multiplican. Si multiplica un vector de fila por un vector de columna, el resultado final no será una matriz sino un escalar.

un vector de fila multiplicado por un vector de columna

Sin embargo, si multiplica un vector de columna por un vector de fila, obtiene una matriz, como esperaría con la multiplicación de matrices. Un vector de columna n x1 multiplicado por un vector de fila 1x n producirá una matriz n x n .

un vector de columna multiplicado por un vector de fila

Resumen de la lección

¡Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido!

Un vector es una lista ordenada de elementos y se diferencia de un escalar por tener tanto magnitud como dirección. Normalmente se escriben verticalmente como vectores de columna u horizontalmente como vectores de fila. Para comprender la diferencia entre los dos, debe comprender cómo se estructuran las matrices.

Una matriz es una matriz rectangular de elementos categorizados por sus dimensiones. Una matriz n x m tiene n número de filas y m número de columnas. Los vectores de columna y fila pueden verse como versiones especiales de matrices. Un vector de fila es una matriz de 1x n y un vector de columna es una matriz de n x1.

Se producen un par de resultados interesantes cuando se realizan operaciones matriciales en vectores de columna y fila. Primero, cuando transpone una matriz, cambia las filas y columnas dentro de ella. Dado que los vectores solo tienen una columna o una fila, cuando transpone un vector de fila, se convierte en un vector de columna y, de la misma manera, un vector de columna se convierte en un vector de fila.

En segundo lugar, la multiplicación de matrices normalmente multiplica dos matrices juntas para crear una tercera. Sin embargo, cuando multiplica un vector de fila por un vector de columna, obtiene un escalar en su lugar. Para obtener el resultado normal de obtener una matriz, debe multiplicar un vector de columna por un vector de fila.

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