Dominio y rango de funciones compuestas: definición y ejemplos

Una función

Para empezar, primero definamos qué es una función. Una función produce una salida o respuesta cuando se le da una entrada. Cada función realiza lo suyo en la entrada. Por ejemplo, la función f (x) = x – 3 resta tres de la entrada para darle una respuesta; sin embargo, la función g (x) = sqrt ( x ) eleva al cuadrado la entrada para darte una respuesta.

Si damos la misma entrada a ambas funciones, vemos que cada función produce su propia respuesta. Si le damos 1 af (x) = x – 3, obtenemos un 1 – 3 = -2; pero si le damos a g (x) = sqrt ( x ) el mismo 1, obtenemos un sqrt (1) = 1. Cada función produce su propia respuesta. Piense en una función como una máquina que trabaja en su entrada y le da una salida o respuesta.

Una función compuesta

Ahora, ¿qué pasa con las funciones compuestas? Una función compuesta es la combinación de funciones. Una función compuesta esencialmente toma el resultado de una función y se lo da a otra. En matemáticas, tenemos una forma de escribir esto. Cuando se trata de más de una función, etiquetamos cada función con una letra diferente. Entonces, una función se llamaría f (x) y la otra g (x) . Si estamos pasando el resultado de g (x) a f (x) , escribimos esta función compuesta como f (g (x)) y lo decimos como f de g de x . Piense en esta función compuesta como la salida de una máquina conectada a la entrada de otra máquina.

También podemos escribir una función compuesta como una función grande. Si estamos pasando la salida de g (x) = sqrt ( x ) af (x) = x – 3, podemos escribir la función compuesta f (g (x)) como una función grande conectando g (x) dondequiera que veamos una x en f (x) . Nuestra función grande se verá como f (g (x)) = sqrt ( x ) – 3. ¿Ves cómo he reemplazado la x en f (x) con la sqrt ( x ), que es g (x) ?

El dominio

Ahora hablemos del dominio. El dominio es su entrada aceptable. Lo que sea que le dé a su función tiene que funcionar, y estos valores están definidos por el dominio. Nuestra función f (x) = x – 3 tiene un dominio de todos los números, ya que podemos poner cualquier número y obtener una respuesta válida.

La función g (x) = sqrt ( x ), por otro lado, tiene un dominio restringido. El dominio de esta función son todos los números mayores o iguales a 0, por lo que solo números positivos. ¿Por qué es esto? Si le damos a esta función un número negativo, como -2, obtendríamos un error de esta función porque la raíz cuadrada de un número negativo no está definida.

Debido a que tenemos más de una función en una función compuesta, tenemos que considerar el dominio de cada función cuando consideramos el dominio de la función compuesta. Para nuestra función compuesta f (g (x)) = sqrt ( x ) – 3, aunque el dominio de nuestra función f (x) = x – 3 son todos números, todavía estamos restringidos porque también tenemos que considerar el dominio de g (x) = sqrt ( x ). Porque el dominio de g (x) = sqrt ( x) está restringido a solo números positivos, tenemos que incluir esto en nuestro dominio. Entonces, nuestro dominio para la función compuesta se convierte solo en números positivos. Tenemos que incluir todas las restricciones de cada función para el dominio de nuestra función compuesta.

El rango

El rango de una función son las posibles salidas. Especificamos el rango de funciones que producen resultados que están limitados de alguna manera. Para nuestra función compuesta f (g (x)) = sqrt ( x ) – 3, el rango son todos los números mayores o iguales a -3. ¿Cómo obtuvimos todos los números mayores o iguales a -3? Conseguimos esto mirando los componentes de nuestra función.

Primero, la raíz cuadrada ( x ) nos dice que nuestra salida solo puede ser números mayores o iguales a 0. Pero luego tenemos el -3 después de esto. El -3 nos dice que cualquier respuesta que obtengamos de la raíz cuadrada se reduce en 3, por lo que nuestra respuesta más baja posible es -3. Debido a que esa es nuestra respuesta más baja posible, nuestro rango son todos los números mayores o iguales a este número más bajo posible, -3.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que cuando una función produce una salida, o una respuesta, cuando se le da una entrada, la función compuesta es la combinación de funciones. Si compara una función con una máquina que recibe alguna entrada y escupe la salida, entonces una función compuesta se puede comparar con una serie de máquinas donde la salida de una máquina está conectada a la entrada de la siguiente máquina.

En matemáticas, escribimos funciones compuestas usando una letra diferente para cada función separada. Entonces, si nuestras dos funciones son f (x) = x – 3 y g (x) = sqrt ( x ), entonces la función compuesta donde la salida de g (x) es la entrada para f (x) se escribe como f ( g (x)) .

El dominio , entradas aceptables, se determina observando cuál es una entrada aceptable para cada una de las funciones y luego incluyendo todas las restricciones. El rango , posibles resultados, se determina mirando la función compuesta y viendo si tiene una respuesta mínima o máxima o una respuesta que no puede ser.

Los resultados del aprendizaje

Permita que el contenido de esta lección en video le ayude a:

• Definir y ejemplificar una función y una función compuesta.
• Comprender la relación entre una función y su dominio y rango.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador