Ecuación de De Broglie: Definición, hipótesis y ejemplos

Hipótesis de De Broglie

En 1923, Louis de Broglie combinó el trabajo realizado por Einstein, que describía la relación entre masa y energía en la materia, y el trabajo de Max Planck, que describía la energía en una onda de fotones, en una relación bajo la hipótesis de que la materia también podría comportarse como una ola. A esto se le suele llamar hipótesis de De Broglie.

En la física clásica, las partículas y las ondas eran entidades separadas y bien definidas. Las partículas se describen como objetos localizados que tienen un límite definitivo de existencia. Todas las partículas tienen propiedades físicas, como volumen y masa. Las ondas, por otro lado, son una perturbación de otro medio físico, como una onda sonora que se propaga por la atmósfera. Todas las ondas tienen asociada una frecuencia, que se define como el número de veces que la onda recorre un ciclo en un tiempo determinado, normalmente medida en Hz, o {eq}s^{-1} {/eq}. Esto generalmente se mide contando las veces que un pico pasa por una ubicación específica durante una unidad de tiempo.

Sin embargo, a finales del siglo XIX comenzaron a surgir inconsistencias en la física clásica, lo que llevó a Einstein a afirmar que la luz actuaba como una partícula. El efecto fotoeléctrico describe cómo la luz interactúa con los electrones y los números no coincidían con la mecánica clásica. Sin embargo, si la luz se tratara como una partícula, es decir, algo que puede contener una cantidad específica de energía en un espacio definido, los datos tenían sentido.

En la hipótesis de De Broglie, esto se aplicaba a la materia y no sólo a la luz. Entonces, a escala atómica, las partículas como los electrones actuarían hipotéticamente como ondas en el sentido de que no tienen límites definidos ni una ubicación establecida en la forma en que pensamos sobre las partículas.

Relación De Broglie

Para derivar la ecuación de De Broglie, comenzó con la ahora famosa ecuación de Einstein que relacionaba la materia con la energía de la luz:

{eq}E=mc^2 {/eq}

De Broglie lo combinó con la ecuación de Planck sobre cómo llega la energía en valores discretos, lo que significa que la energía no es continua, hay estados de energía específicos que son posibles. Si bien esta ecuación era específica para ondas, De Broglie, utilizando su hipótesis de que las partículas pueden actuar como ondas, combinó las ecuaciones:

{eq}E=mc^2=h\nu {/eq}

Donde E es energía, m es masa, c es la velocidad de la luz, o {eq}2.998*10^8 \frac{m}{s} {/eq}, h es la constante de Planck, que es {eq}6.62 X10 ^{-34} Js {/eq}, y {eq}\nu {/eq} es la frecuencia de la onda.

Sin embargo, el problema con la ecuación es que las partículas con masa no pueden moverse a la velocidad de la luz, y la ecuación de Einstein funciona específicamente con ondas de luz, por lo que De Broglie sustituyó la velocidad de la partícula por la velocidad de la luz.

{eq}mv^2 = h\nu {/eq}

Además, la frecuencia de una onda se puede describir como la velocidad de la luz a lo largo de su longitud de onda,{eq}\frac{c}{\lambda} {/eq}, donde la longitud de onda se define como la distancia que tarda una onda en completarse. un ciclo completo. Una vez más, de Broglie sustituyó la velocidad de la luz por la velocidad y simplificó la ecuación a

{eq}mv = \frac{h}{\lambda} {/eq}

Y finalmente, resolviendo la longitud de onda.

{eq}\lambda = \frac{h}{mv} {/eq}

Esto se llama relación de De Broglie, ecuación de longitud de onda de De Broglie o ecuación de De Broglie y, a veces, se muestra como

{eq}\lambda = \frac{h}{p} {/eq}

Donde p es el momento de la partícula, {eq}mv {/eq}.

Ecuación de De Broglie

La ecuación de De Broglie es una piedra angular de la física cuántica y tiene grandes implicaciones para la intersección de ondas y partículas.

Recuerde, esta ecuación se usa para describir partículas, por lo que De Broglie postula que las partículas tienen una longitud de onda. Esto iba en contra de la noción de la física clásica de que las partículas tienen un límite bien definido y que existe una diferencia entre una partícula y una onda.

Para partículas grandes, este no es un fenómeno significativamente grande: por ejemplo, el colibrí de Anna puede alcanzar una velocidad máxima de 50 mph o 22,4 m/s y pesa 0,15 oz o 0,004 kg.

Introduciendo estos números en la ecuación de onda de De Broglie,

{eq}\lambda = \frac{h}{22,4*0,004} {/eq}

{eq}\lambda = 7,0*10^{-33} m {/eq}

Por contexto, el diámetro de un átomo es aproximadamente {eq}1*10^{-10} m {/eq} y el diámetro de un núcleo es aproximadamente {eq}2*10^{-15} m {/eq}, por lo que la longitud de onda del colibrí de Anna es increíblemente pequeña.

Sin embargo, para algo como un electrón (que tiene una masa de {eq}9,11*10^{-31} kg {/eq}) que tiene una velocidad de alrededor de {eq}5,9*10^6 \frac{m}{s } {/eq}:

{eq}\lambda = \frac{h}{(5,9*10^6)*(9,11*10^{-31}) } {/eq}

{eq}\lambda = 1,2*10^{-10} m {/eq}

Este valor es todavía pequeño, pero mucho mayor que la longitud de onda de De Broglie del colibrí y se sitúa alrededor de la escala atómica en la que existe el electrón. Entonces, si bien decir que un colibrí tiene un límite definido de dónde existe y no es razonable dada su longitud de onda de De Broglie, esto no es cierto para un electrón porque tiene una naturaleza ondulatoria nada despreciable.

Esta postulación de De Broglie fue increíblemente importante para los inicios de la mecánica cuántica porque comenzó a insinuar un postulado central de la mecánica cuántica de que la física es probabilística. En la mecánica clásica, todo es determinista, y si uno supiera la posición inicial y el momento de cada partícula al comienzo del tiempo, podría calcular cómo actuaron todas esas partículas en todo momento, pero esto no es posible si las partículas actúan probabilísticamente como ondas.

Cuando De Broglie derivó por primera vez esta ecuación, era sólo una hipótesis y no fue respaldada experimentalmente hasta 1927 con el trabajo de los físicos Davisson y Germer. Disparaban electrones a los metales y sobrecalentaban el metal para formar una estructura cristalina, que se comportaba de manera similar a un experimento de doble rendija, lo que demostraba que los electrones actuaban como ondas.

Resumen de la lección

La ecuación de De Broglie, que surgió a partir del trabajo de Einstein con la luz actuando como partículas en forma de fotones, mostró cómo las partículas pueden tener propiedades ondulatorias, como una longitud de onda. En la física clásica newtoniana, las partículas y las ondas son entidades separadas que se comportan de maneras específicas. Las partículas tienen límites y trayectorias de movimiento definidos, y las ondas son una perturbación de un medio y están definidas por su frecuencia. Pero de Broglie, a través de la relación de De Broglie, {eq}\lambda=\frac{h}{mv} {/eq}, demostró que no están separadas y que las ondas tienen algún comportamiento similar a una partícula y las partículas tienen algún comportamiento similar a una onda., como una frecuencia. La frecuencia se define como el número de ciclos que recorre una onda en un período de tiempo, generalmente medido utilizando sus picos.

Si bien este comportamiento ondulatorio es insignificante para partículas en la escala de la vida cotidiana, como un colibrí, no puede ignorarse en la escala atómica más pequeña. Davisson y Germer, unos años después de que se derivara la ecuación de De Broglie, demostraron experimentalmente que los electrones pueden actuar y actúan como ondas. Entre el trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico y la ecuación de De Broglie, este fue el comienzo del campo de la mecánica cuántica que conocemos hoy.