Ecuaciones racionales: problemas de práctica

Publicado el 18 septiembre, 2020

Ejemplo 1

Mario y Bill poseen un lavado de autos local. Mario puede lavar, aspirar y encerar un automóvil en 6 horas. Bill puede lavar un auto, aspirarlo y encerarlo en 5 horas. Han decidido tener un evento especial el próximo sábado. Los dos sienten curiosidad por cuánto tiempo les tomará lavar, aspirar y encerar cada automóvil si funcionan juntos, por lo que deciden averiguar cuánto tiempo les llevará. Deciden escribir una ecuación racional para representar su situación. Una ecuación racional es una ecuación que contiene fracciones y polinomios en su numerador y denominador.

Mario sabe que puede limpiar un auto en 6 horas. Necesita usar la tasa de 1 automóvil por cada 6 horas. Bill sabe que puede limpiar un auto en 5 horas. Necesitará usar la tarifa de 1 automóvil por cada 5 horas. Como no saben cuánto tiempo les tomará limpiar un automóvil juntos, usarán la variable w para representar ese tiempo. Entonces, la tasa con la que limpiarán un automóvil juntos será de 1 automóvil por cada w horas.

Mario y Bill saben que cada una de sus tarifas sumadas equivaldrá a la cantidad de tiempo que les tomaría combinadas, por lo que usarán la ecuación tarifa de Mario + tarifa de Bill = su tarifa combinada. A continuación, introducirán cada tasa en su ecuación: 1/6 + 1/5 = 1 / w . Mario y Bill ahora están listos para resolver su problema para ver cuánto tiempo les tomaría juntos limpiar cada auto.

Borrar la fracción


Multiplica por el MCM de cada denominador para borrar fracciones de una ecuación
Borrar la fracción

Mario y Bill están perplejos al mirar su ecuación. Ambos saben que para resolver una ecuación con fracciones, pueden borrar las fracciones de la ecuación. Para hacer esto, necesitarán multiplicar cada término por el mínimo común múltiplo (MCM) de cada denominador. Los denominadores del problema son 6, 5 y w . El MCM de los dos números (6 y 5) es 30. También deben multiplicar por la variable w, ya que también es un término. Entonces, el MCM de estos tres denominadores es 30 w . Al multiplicar cada término en esta ecuación por 30 w, Mario y Bill pueden borrar todas las fracciones en su ecuación. La razón por la que esto es posible es porque cuando multiplican cada término, pueden cancelar los términos comunes.

Al hacer 1/6 por 30 w , podemos dividir un factor común de 6. Entonces, 1/6 por 30 w sería igual a 5 w . Al multiplicar 1/5 por 30 w , podemos dividir un factor común de 5. Entonces 1/5 por 30 w equivaldría a 6 w . Al hacer 1 / w por 30 w , podemos dividir un factor común de w . Entonces, 1 / w por 30 w sería igual a 30. Ahora que Mario y Bill han multiplicado cada término por 30 w , ahora tienen la ecuación 5 w + 6 w = 30.

Ejemplo de resolución 1

El siguiente paso para resolver este problema es combinar términos semejantes: 5 w + 6 w = 11 w . La ecuación ahora es una ecuación de un paso: 11 w = 30. Para resolver w , divida cada lado entre 11. 11 w dividido por 11 sería igual a w , y 30 dividido por 11 sería igual a 2 y 8/11 horas. Para saber exactamente cuántos minutos son 8/11 horas, Mario y Bill multiplicarían 8/11 por 60 minutos. Esto equivaldría a 43,6 minutos. Sumando eso al número entero de 2, Mario y Bill se dan cuenta de que juntos pueden lavar, aspirar y encerar cada automóvil en 2 horas y 43,6 minutos.

Ejemplo 2

Mario y Bill están muy contentos con la participación durante la venta del sábado. Tenían tantos clientes que decidieron trabajar juntos para desinfectar el interior de su lavado de autos. Juntos, les tomó 12 horas desinfectar completamente el interior de su lavado de autos. La última vez que desinfectaron el túnel de lavado, Mario lo había limpiado él mismo. El año anterior, Bill había limpiado el túnel de lavado por sí mismo, pero tomó 3 veces más tiempo del que Mario lo había tomado solo. ¿Cuánto tiempo les tomó a cada uno de ellos limpiar el lavadero de autos individualmente?

Sabemos que Mario limpió el lavadero de autos él solo, pero no sabemos cuánto tiempo tomó. Usemos la proporción 1 lavado de autos en M horas para representar cuánto tiempo le tomó a Mario limpiar el lavado de autos por sí mismo. Además, Bill limpió el lavadero de autos él mismo. Para Bill, usaremos la proporción 1 lavado de autos en B horas para representar cuánto tiempo le tomó a Bill limpiar el lavado de autos por sí mismo. Juntos limpiaron el túnel de lavado en 12 horas. Para esta proporción, usaremos 1 lavado de autos en 12 horas para representar qué tan rápido limpiaron el lavado de autos mientras trabajaban juntos. Ahora podemos ver que el tiempo de Mario más el tiempo de Bill es igual a su tiempo combinado. Entonces nuestra ecuación es ahora 1 / M + 1 / B = 1/12.

Ahora sabemos que a Bill le tomó tres veces más tiempo que a Mario para limpiar el túnel de lavado por sí mismo. Por lo tanto, en lugar de usar B para representar la cantidad de tiempo que le tomó a Bill, podemos usar 3 M porque 3 M representaría tres veces la cantidad de horas que le tomó a Mario. Para resolver esta ecuación, ahora necesitamos borrar las fracciones de la ecuación multiplicando por el MCM. El mínimo común múltiplo que dividirá por nuestros denominadores M , 3 M , y 12 es 12 M . Así que vamos a multiplicar cada término por 12 M . Esto nos permitirá deshacernos de nuestras fracciones.

1 / M Tiempos 12 M es igual a 12. 1/3 M Tiempos 12 M es igual a 4. Y por último, 1/12 12 M es igual a M . Así que nuestra ecuación ahora se ve como 12 + 4 = M . Para resolverlo, suma 12 y 4 juntos, y M sería igual a 16. Como M es igual a 16, sabemos que a Mario le tomó 16 horas limpiar el túnel de lavado por sí mismo. Bill tardó 3 veces más, por lo que 16 * 3 = 48 horas. Bill limpió el autolavado él mismo en 48 horas. Debe haber tenido una semana larga.

Ejemplo 3

Mario y Bill están muy contentos con su lavado de autos limpio y reluciente. Los dos muchachos solo tienen una tarea más para hacer que su lavado de autos esté completamente abastecido para la inauguración del día siguiente. Necesitan llenar la gran torre de jabón.

Mario y Bill pueden usar dos mangueras separadas para llenar el dispensador de jabón. Cuando ambas mangueras se utilizan juntas, se necesitan 12 minutos para llenar la torre de jabón. Si se usa por separado, una manguera puede llenar la torre 10 minutos más rápido que la otra. ¿Cuánto tiempo tarda cada manguera en llenar la torre por separado?

Para este problema, llamemos a la manguera A la manguera más rápida y a la manguera B la manguera más lenta. La proporción de la rapidez con la que la manguera A puede llenar la torre de jabón sola es de 1 torre / A minuto. La relación de la rapidez con la que la manguera B puede llenar la torre sola es de 1 torre / B minutos. Además, la relación de la rapidez con la que ambas mangueras combinadas pueden llenar la torre de agua es de 1 torre / 12 minutos. Ahora sabemos que cuando usamos la manguera A más la manguera B combinados, lleva 12 minutos. Entonces nuestra ecuación será 1 / A + 1 / B = 1/12.

Dado que lleva la manguera B 10 minutos más que la manguera A, podemos sustituir un + 10 en término de B . Nuestra ecuación ahora es 1 / A + 1 / A + 10 = 1/12. La forma más fácil de borrar nuestra ecuación de fracciones es multiplicar cada término por el MCM, que serían los tres denominadores multiplicados juntos. El LCM para esta ecuación sería A veces A +10 Tiempos 12.

A medida que multiplicamos cada término, podemos cancelar los términos semejantes. Como multiplicamos 1 / A veces A veces A + 10 veces 12, la A términos se anulan, dejando ( A + 10) veces 12. Como multiplicamos 1 / ( A veces + 10) A veces A veces 12 + 10, los ( A + 10) términos se anulan, dejando A veces 12. Y como multiplicamos 1/12 veces A veces A 10 veces + 12, los 12 términos se anulan, dejando A veces ( A + 10). Nuestra ecuación es ahora (( A + 10) * 12) + ( A* 12) = ( A * ( A + 10)).

A continuación, necesitamos simplificar cada término. 12 veces ( A + 10) sería igual 12 A + 120. 12 veces A sería igual a 12 A , y A veces ( A + 10) sería igual A ^ 2 + 10 A . A continuación, vamos a combinar 12 A y 12 A en el mismo lado de la ecuación a la igualdad de 24 A . Así que nuestra ecuación ahora es 24 A + 120 = A ^ 2 + 10 A .


Ecuación escrita en forma estándar
Forma estándar

La ecuación ahora debe ponerse en forma estándar para que podamos factorizar las posibles soluciones. La forma estándar se escribe como A x 2 + B x + C = 0. Para convertir nuestra ecuación a la forma estándar, necesitaremos realizar operaciones inversas. Nuestra ecuación en forma estándar se escribiría como A ^ 2 – 14 A – 120 = 0.

Para resolver esta ecuación, necesitamos factorizar nuestro trinomio . Mira nuestra constante, -120. Necesitamos pensar en dos números que se multiplican para darnos -120 pero que también se suman para darnos nuestro término medio de -14. Los dos factores de 120 que nos dan un producto de -120 y una suma de -14 son -20 y 6. Cuando factorizamos la ecuación A ^ 2 – 14 A – 120, obtenemos ( A – 20) y ( A + 6) = 0. Debemos resolver cada término estableciendo ambas ecuaciones iguales a cero. Resolveremos las ecuaciones ( A – 20) = 0 y ( A + 6) = 0.

Después de resolver ambas ecuaciones, nos quedan dos soluciones: A = 20 y A = -6. Tanto Mario como Bill saben que no es posible tener una hora negativa, por lo que eliminan la respuesta A = -6. Así que Mario y Bill ahora saben que la manguera A, que es la más rápida, tardó 20 minutos en llenar la torre de jabón por sí sola. Para saber cuánto tiempo tomó la manguera B, necesitaremos agregar los 20 minutos y los 10 minutos adicionales que tomó la manguera más lenta, por lo que la manguera B tardó 30 minutos en llenar la torre de jabón. Mario y Bill ahora están contentos con su lavado de autos limpio y listos para comenzar otra semana ocupada trabajando en el lavado de autos.

Resumen de la lección

Repasemos algunos de los puntos principales que usamos para resolver estas ecuaciones racionales. Para resolver una ecuación racional, deberá prestar mucha atención a la redacción del problema y escribir una ecuación para representar las razones que se proporcionan. La forma más sencilla de resolver una ecuación racional es despejar la ecuación de fracciones. Esto se puede hacer multiplicando cada término por el mínimo común múltiplo (MCM). Después de borrar la ecuación de las fracciones, resolverá la ecuación de la misma manera que lo haría con cualquier otra ecuación de varios pasos. No olvide al final de su problema evaluar su respuesta para verificar si tiene sentido. Por ejemplo, no podríamos tener -6 horas. Por tanto, -6 no era una solución posible.

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