La ley de los senos
La ambigüedad es algo muy interesante en matemáticas. No pensarías que una ley matemática te daría dos respuestas diferentes al mismo problema. Pero a veces lo hace. En esta lección, echamos un vistazo a esta extraña ambigüedad que resulta cuando se cumplen ciertas condiciones cuando usamos la ley de los senos, que es muy útil para resolver problemas que involucran triángulos.
La ley de los senos nos dice cómo se relacionan los lados del triángulo con los ángulos del triángulo. Nuestra triángulo tiene lados un , b y c con ángulos A, B y C. El ángulo A es lado opuesto una , el ángulo B es lado opuesto b , y el ángulo C es lado opuesto c . Recuerde: lado sobre el seno del ángulo opuesto. La ley de los senos funciona para cualquier triángulo.
El caso ambiguo
Pero no funciona en todos los casos. Cuando se le dan dos lados adyacentes de un triángulo seguidos de un ángulo, la ley de los senos en realidad le dará dos respuestas. A esta situación la llamamos caso de ángulo lateral. Puedes imaginar estas dos posibilidades balanceando el lado entre los dos ángulos desconocidos para ver si puedes formar otro triángulo. Para nuestro triángulo, si giramos el lado a hacia la izquierda, veríamos otra forma de triángulo cuando vuelva a tocar el lado desconocido. Entonces, tenemos un posible triángulo obtuso y un posible triángulo agudo.
Pero ten cuidado
Pero tenemos que tener cuidado cuando aplicamos la ley de los senos. Mira, la ley de los senos solo nos dará uno de estos ángulos si usamos una calculadora. Para encontrar la otra, necesitamos restar la respuesta de nuestra calculadora de 180. Y aunque tenemos dos respuestas, es posible que solo haya una respuesta. Tienes que comprobar visualmente como hicimos anteriormente. O puede mirar nuestras dos respuestas y ver cuál funciona con nuestro ángulo conocido. Si ambos ángulos funcionan, lo que significa que no suman más de 180 con nuestro triángulo conocido, entonces tenemos dos posibles respuestas. Pero si uno de los ángulos suma 180 o más con nuestro ángulo conocido, entonces solo tenemos una respuesta posible.
Ejemplo
Veamos un ejemplo. Calcula la medida del ángulo x . Necesitamos encontrar la medida del ángulo x , se nos da un ángulo que mide 33 y dos lados que miden 4.7 y 6.3. Para encontrar la medida del ángulo x , necesitamos usar la ley de los senos ya que nuestro triángulo no es un triángulo especial, como un triángulo rectángulo. Primero podemos etiquetar nuestros lados y sus correspondientes ángulos opuestos. Podemos etiquetar el 4.7 como lado a y el 6.3 como lado b . El lado desconocido será el lado c . Ahora, los ángulos opuestos correspondientes son 33 para el ángulo A, x para el ángulo B y un ángulo desconocido C. Dado que no tenemos ninguna información para el ángulo C o el lado c, podemos omitir esa parte de la ley de los senos. Nos quedamos con esto: 4.7 / sin (33) = 6.3 / sin ( x ). Resolviendo esto para nuestra variable x , obtenemos esto: x = 46.89.
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Entonces, en la primera evaluación, obtenemos una medida de ángulo de 46.89 grados, aproximadamente 47 grados. Sin embargo, dado que tenemos el caso del ángulo lateral, podríamos tener la situación en la que hay dos posibles soluciones. Veamos cuál puede ser el otro. Restamos 46.89 o 47 de 180. Obtenemos 180 – 47 = 133 grados. Ahora tenemos que verificar si ambas son respuestas válidas. Si sumamos 47 a 33, obtenemos 80, lo que significa que nuestro tercer ángulo es 100, lo que forma un triángulo legítimo. ¿Qué hay de 133 grados? Si sumamos 133 a 33, obtenemos 166. Esto significa que nuestro tercer ángulo es 14. Esto también lo convierte en un triángulo legítimo, por lo que ambas respuestas funcionan. Así que aquí tenemos dos posibles respuestas.
Ahora recuerde, se encontrará con esta situación de dos posibles respuestas cuando tenga el caso de ángulo de lado a lado, cuando se le dan los lados adyacentes, seguidos de un ángulo. De lo contrario, la ley de los senos te dará la respuesta correcta.
Resumen de la lección
Revisemos. La ley de los senos es muy útil para resolver problemas que involucran triángulos. Nuestra triángulo tiene lados un , b y c con ángulos A, B y C. El ángulo A es lado opuesto una , el ángulo B es lado opuesto b , y el ángulo C es lado opuesto c. Recuerde: lado sobre el seno del ángulo opuesto. La ley de los senos tiene un caso ambiguo en el que puede tener dos posibles soluciones. Obtienes este caso cuando te dan dos lados adyacentes, seguidos de un ángulo. Esto se llama caso de ángulo lateral. Cuando obtiene este caso, es posible tener dos soluciones que funcionen. Tendrás que comprobar ambas respuestas. Al evaluar su ley de los senos, solo obtendrá una respuesta. Para encontrar la otra respuesta posible, reste la respuesta de su calculadora de 180, luego verifique ambas respuestas para ver si forman un triángulo legítimo. Recuerde que todos los ángulos de un triángulo deben sumar 180. Si suman más de 180, entonces no funcionará.
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