El teorema del eje paralelo y el momento de inercia

¿Qué es el teorema del eje paralelo?

En física, nos encanta simplificar situaciones. Después de todo, ¿quién quiere hacer matemáticas complejas basadas en el cálculo y pasar horas jugando con álgebra? Bueno, en realidad, supongo que a muchos físicos les gusta eso. Pero solo cuando sea realmente necesario.

En otras lecciones, hemos hablado del momento de inercia. La inercia rotacional , también conocida como momento de inercia, es un número que representa cuánta masa tiene un objeto en rotación y cómo se distribuye. Un objeto con más inercia rotacional es más difícil de acelerar. El momento de inercia se mide en kilogramos metros cuadrados (kg m 2 ).

Pero todo en lo que nos hemos centrado implica situaciones que tienen objetos agradables y uniformes. Esferas, conchas, anillos … cualquier cosa simétrica. Y también asumió que esos objetos giraban alrededor de un eje que pasaba directamente por el centro de masa del objeto. Pero, ¿qué pasa cuando ese no es el caso?

Bueno, podrías hacer un montón de cálculos complejos. O, si no le gusta el cálculo, como la mayoría de la gente, puede usar el teorema del eje paralelo.

El teorema del eje paralelo establece que el momento de inercia de un objeto alrededor de un eje particular es igual al momento de inercia alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa, más la masa del objeto, multiplicada por la distancia a ese paralelo. eje, cuadrado.

El momento de inercia alrededor del centro de masa es un valor mínimo. Si mueve el eje de rotación a otra parte, aumenta el momento de inercia, lo difícil que es ralentizar o acelerar la rotación del objeto.

Ecuación

El teorema del eje paralelo es mucho más fácil de entender en forma de ecuación que en palabras. Aquí está:

Yo = Icm + señor ^ 2

Este diagrama muestra un objeto de forma aleatoria con un eje de rotación que no pasa por el centro de masa:

Teorema del eje paralelo

Pero si toma un eje de rotación paralelo que pasa por el centro de masa, podemos usarlo para calcular el momento de inercia a través del eje de rotación real.

Si conocemos, o podemos averiguar, el momento de inercia a través del eje del centro de masa, Icm , medido en kilogramos metros al cuadrado, y conocemos la masa total del objeto, m , medida en kilogramos, y la distancia al paralelo El eje está alejado del centro de masa, r , medido en metros, simplemente podemos insertar esos números y calcular el momento de inercia a través de nuestro eje de rotación descentrado.

Entonces, eso es probablemente un poco más fácil de entender ahora. ¿Pero sabes qué lo haría aún mejor? Un ejemplo.

Ejemplo de cálculo

Un día estás limpiando el sótano cuando encuentras una almohada de dormitorio realmente vieja. Una de esas almohadas súper grumosas que deberían haberse tirado hace años. Antes de tirarlo, siendo un físico aficionado, decide hacer un experimento con él. Sin ceremonias, agarras una aguja de tejer de tu abuela, la apuñalas por la mitad y giras la almohada alrededor de la aguja.

Es posible que haya clavado la aguja por el medio, pero debido a que está todo abultado y deformado, desafortunadamente, el centro de masa de la almohada ya no está en el medio. El centro de masa de la almohada está a 0.05 metros del centro. Si hubieras clavado la aguja de tejer en el centro de masa, el momento de inercia habría sido 0,00015, pero no lo hiciste. Ahora necesitas calcularlo. Si la masa de la almohada es de 0,1 kilogramos, ¿cuál es el momento de inercia de la almohada alrededor del eje de la aguja de tejer?

¿Cómo resolvemos esto? Bueno, antes que nada, deberíamos escribir lo que sabemos. Sabemos que la distancia entre el eje de rotación y el centro de masa es de 0.05 metros, eso es r . Sabemos que la masa de la almohada es de 0,1 kilogramos, eso es m . Y nos dijeron que el momento de inercia, si estuviera girando alrededor del centro de masa, sería 0,00015, que es Icm , el momento de inercia alrededor del eje del centro de masa.

Inserte esos números en el teorema del eje paralelo y obtendrá:

Yo = 0,00015 + (0,1) (0,05) ^ 2.

Escríbalo en una calculadora y resuelva, y obtendrá 0,0004 kg m 2 .

Y eso es todo, esa es nuestra respuesta.

Resumen de la lección

La inercia rotacional (también conocida como momento de inercia) es un número que representa cuánta masa tiene un objeto en rotación y cómo se distribuye. Un objeto con más inercia rotacional es más difícil de acelerar. El momento de inercia se mide en kg m 2 .

El teorema del eje paralelo nos permite calcular el momento de inercia de un objeto que gira alrededor de un eje que no pasa por el centro de masa. El teorema del eje paralelo establece que el momento de inercia de un objeto alrededor de un eje particular es igual al momento de inercia alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa, más la masa del objeto, multiplicada por la distancia a ese paralelo. eje, cuadrado.

El momento de inercia alrededor del centro de masa es un valor mínimo. Si mueve el eje de rotación a otra parte, aumenta el momento de inercia, lo difícil que es ralentizar o acelerar la rotación del objeto.

Esta ecuación nos permite calcular ese valor incrementado, donde Icm (o I-centro de masa) es el momento de inercia si el objeto estuviera girando alrededor de un eje paralelo que pasó por el centro de masa, medido en kg m 2 , y m es la masa del objeto, medida en kilogramos, y r es la distancia entre el centro paralelo del eje de masa y el eje de rotación, medida en metros.

Los resultados del aprendizaje

Cada sección de esta lección puede prepararlo para:

• Describe la inercia rotacional
• Explica el teorema del eje paralelo.
• Identificar la forma de la ecuación del teorema del eje paralelo