El teorema del binomio: Definición de expresiones

Teorema del binomio

Bienvenido a esta lección sobre el teorema del binomio . Si bien el término suena complicado, dividirlo en sus partes puede hacerlo fácilmente comprensible:

Como sabemos que un binomio es una expresión de 2 términos y un teorema es una fórmula matemática, el teorema del binomio debe significar una fórmula matemática utilizada para expandir expresiones de 2 términos. Se utiliza para encontrar la versión expandida de binomios elevados a cualquier exponente numérico.

El teorema se ve así:

Teorema binomial

Antes de continuar, me gustaría cubrir tres definiciones más que serán importantes:

• El término es la combinación de variables y coeficientes separados por operaciones como + o –
• Variable es lo desconocido de un término, generalmente representado por letras.
• El coeficiente es el número que se multiplica por las variables

En 3 ab + 2 b hay dos términos, 3 ab y 2 b ; dos variables, a y b ; y dos coeficientes, 3 y 2.

¿Por qué utilizar el teorema del binomio?

De vuelta a la fórmula. ¡No dejes que te intimide! Aunque parece demasiado complicado y no vale la pena el esfuerzo, el teorema del binomio realmente simplifica el proceso de expandir los exponentes binomiales. Piense en lo complicado que sería expandir 5 5 manualmente. Tendrías que multiplicar cada paso por tu cuenta:

5 x 5 = 25
5 x 25 = 125
5 x 125 = 625
5 x 625 = 3125

¡Y eso es solo para la quinta potencia! ¿Te imaginas cuánto tiempo lleva si quieres llegar más lejos? Ciertamente me alegra que las calculadoras tengan la capacidad de hacer este cálculo en una fracción de segundo. Eso significa que no tengo que hacerlo.

Pero, si un solo número puede atascarse tanto en el proceso como para expandirse manualmente, ¿qué pasaría si fuera un binomio? ¿Y si tuviéramos ( a + b ) 2 . Tendríamos que calcular ( a + b ) ( a + b ). Bueno, eso no es tan malo; Si está familiarizado con la cuadratura de binomios, llegará rápidamente a la respuesta de a 2 + 2 ab + b 2 . (Si no está seguro de cómo obtuve esa respuesta, revise las lecciones que cubren la multiplicación de términos).

Si bien elevar al cuadrado un binomio no es muy difícil ni requiere mucho tiempo, ¿qué pasa con ( a + b ) 5 ? Aquí tendrías que hacer lo mismo que hicimos con el 5: multiplicar cada respuesta por el binomio original hasta que hayas multiplicado el binomio por sí mismo cinco veces.

Ya tenemos los dos primeros, lo que nos da un resultado de a 2 + 2 ab + b 2 . Ahora, para obtener ( a + b ) ( a 2 + 2 ab + b 2 ), debemos recordar que debemos multiplicar cada término en el binomio por cada término en el trinomio (que es el paréntesis con tres términos en él). Vamos a empezar con el de un plazo: un * ( un 2 + 2 ab + b 2 ) = un 3 + 2 un 2 b + ab2 .

Entonces el término b : b * ( a 2 + 2 ab + b 2 ) = a 2 b + 2 ab 2 + b 3 .

Luego tenemos que combinar términos semejantes para obtener un resultado final de a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3

Y eso nos da el resultado de ( a + b ) 3 ; solo quedan dos multiplicaciones más, ¡y terminamos con elevar el binomio a la quinta potencia! No sé ustedes, pero ya estoy cansado de hacer este proceso manual para expandir un exponente binomial, y acabamos de terminar la tercera potencia.

Para eso sirve el teorema. Nos permite elaborar una fórmula para llegar directamente a nuestro resultado final en lugar de tener que repetir continuamente la multiplicación binomial.

Explicación del teorema del binomio

Echemos un vistazo más de cerca a la fórmula ahora.

Teorema binomial

Comenzando por el principio, tenemos ( a + b ) n . Esto solo nos permite saber qué potencia se ha elegido para el binomio. n se definirá en cada problema real. Para definir un medio de variables para asignar un valor real a una variable. Para nuestro proceso, definamos n como 3. El signo igual nos permite saber que la fórmula viene a continuación.

Ahora, esa curiosa E angular se llama sigma y significa que tendremos que repetir un proceso y sumar todos los resultados. Debajo del sigma, verá k = 0; esto solo indica que comenzaremos nuestra suma con el entendimiento de que n puede ser cualquier número desde 0 hasta lo que sea que se haya definido. Por encima de la sigma, vemos n de nuevo. Esta vez, indica que se utilizará el exponente más alto.

Lo siguiente es lo que parece un paréntesis demasiado grande con una fracción adentro. Pero, a la fracción le falta su barra de fracción. Esta es en realidad la notación matemática para ‘n elige k ‘ y significa que creas una fracción a partir de los factoriales de n y k , así: n ! / k ! ( n – k )! La fracción factorial nos dará el coeficiente de cada término en el resultado final expandido.

Finalmente, el resto de la fórmula resultará en los exponentes correctos adjuntos a las variables para cada término. Tenga en cuenta que la una variable será empezar por el valor máximo y su forma de trabajo a cero, mientras que el b variables hace lo contrario.

También recuerde:

• Cualquier cosa 0 = 1
• 0! = 1

Y esa es la fórmula en pocas palabras:

• Introduciendo el binomio y su exponente
• Indicar que se sumarán múltiples resultados de un proceso
• El coeficiente de cada término se define por ‘n elegir k ‘
• Los exponentes de cada término se determinan mediante un patrón de reducir el primero en 1 y aumentar el segundo en 1 consecutivamente.

Encontrar el coeficiente

Si usamos el ejemplo aquí, de ( a + b ) 3 , nuestros cálculos de coeficientes serían:

• ¡Para el primer término, el cálculo factorial sería 3! / 0! (3-0) !, que equivale a 1.
• Para el segundo término, ¡el cálculo factorial sería 3! / 1! (3 – 1) !, que equivale a 3.
• ¡Para el tercer término, el cálculo factorial sería 3! / 2! (3 – 2) !, que es 3.
• Finalmente, para el cuarto término, ¡el cálculo factorial sería 3! / 3! (3 – 3) !, que es 1.

Entonces, nuestros coeficientes para un binomio elevado a la tercera potencia son 1, 3, 3, 1.

Si no está seguro de cómo obtuve los cálculos factoriales, revise otras lecciones.

Exponentes para cada término

Ahora que conocemos todos los coeficientes de nuestros términos, solo tenemos que averiguar los exponentes de nuestras variables. La fórmula dice que comenzamos con la primera variable que tiene el mayor valor de exponente y la segunda variable comienza en 0 (lo que significa que no aparecerá en el término).

Nuevamente trabajando con nuestro ejemplo, obtendríamos:

• para el primer término , a (3 – 0) b 0 , que es solo un 3
• el segundo término sería, a (3 – 1) b 1 , que parece a 2 b cuando se simplifica
• el tercer término sería, a (3 – 2) b 2 , que es ab 2
• y el último es el cuarto término , a (3 – 3) b 3 , o simplemente b 3

Entonces, nuestras variables son: a 3 a 2 b ab 2 b 3

Nota del editor de video: complete las variables de arriba en los segmentos de línea en la parte superior de la pantalla y aumente el tamaño de la expansión final para llenar la pantalla.

Juntando los coeficientes y las variables con exponentes de nuestro ejemplo tenemos:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Otro ejemplo

Trabajemos con un ejemplo más. Esta vez, en lugar de separar los cálculos por partes, haré todos los cálculos para cada término a medida que venga.

Nuestro ejemplo esta vez es (x + y) 4, por lo que comenzamos con el primer término:

( 4! / 0! (4 – 0)!) X 4 , que en realidad es solo x 4

¡Luego tenemos * 4! / 1! (4 – 1)!) X 3y , lo que equivale a 4x 3y

Entonces, (4! / 2! (4 – 2)!) X 2 y 2 o 6x 2 y 2

El siguiente es (4! / 3! (4 – 3)!) Xy 3 o 4xy 3

Y finalmente tenemos (4! / 4! (4 – 4)!) X 0 y 4 , que es 1y 4

Entonces, (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 .

Entonces, ahí lo tienes: puede parecer que lleva mucho tiempo llegar a la respuesta, pero a medida que practicas tus factoriales y entras en ese patrón fácil de restar uno de la primera variable y sumar uno a la segunda en cada término , será muy fácil expandir binomios con cualquier exponente.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos que un teorema binomial es solo una fórmula para expandir dos términos elevados a cualquier exponente. Si bien la fórmula parece un poco complicada, se puede dividir en sus partes para comprenderla mejor:

Teorema binomial

La primera sección es simplemente el binomio con el exponente definido. A continuación, encuentra sigma que indica sumar los resultados de la fórmula para valores de 0 al exponente definido. En tercer lugar, encuentra la notación para ‘n elija k ‘, que indica el uso de cálculos factoriales para obtener coeficientes. Y, finalmente, la última sección de la fórmula calcula los exponentes adjuntos a cada variable en cada término y se puede encontrar simplemente sumando uno y restando uno de cada variable en cada término respectivamente.

No lo olvides, la práctica hace al maestro y, aunque esta fórmula parece complicada a primera vista, cada parte individual requiere habilidades matemáticas muy simples que se juntan al final para crear una manera mucho más fácil de expandir un binomio que usar mano de obra. multiplicación manual intensiva.

Los resultados del aprendizaje

Con la información obtenida de esta lección en video, podría:

• Identificar el teorema del binomio
• Comprender la ventaja de usar este teorema
• Calcular la fórmula del teorema binomial
• Encuentra coeficientes

Rodrigo Ricardo Editor y fundador