Raíces y potencias de expresiones algebraicas

Raíces y exponentes

Trabajar con raíces y exponentes puede ser complicado en el mejor de los casos, pero cuando comienzas a agregar expresiones algebraicas y factorizar, se vuelve aún más difícil. La mala noticia es que a los redactores de las pruebas del SAT les encanta lanzar problemas que ponen a los estudiantes en un bucle. Pero la buena noticia es que al aprender a detectar este tipo de problemas, puede evitar llegar a conclusiones equivocadas.

En esta lección, aprenderá a identificar dos trampas comunes para los estudiantes que trabajan con raíces y poderes de expresiones algebraicas. Ambos giran en torno a las propiedades de distribución y el orden de las operaciones , o la regla que nos dice qué operación de una expresión dada debemos hacer primero. Primero, repasaremos cómo funcionan estas propiedades con las raíces y luego veremos cómo se aplican a los exponentes.

Raíces y álgebra

Las raíces de las ecuaciones algebraicas pueden ser complicadas. La clave es recordar cuándo puede distribuir el radical y cuándo no. Aquí está la regla: solo distribuya el radical cuando la operación debajo sea multiplicación o división, nunca con suma o resta.

Cuando tienes suma o resta bajo el signo de radical, tienes que hacer la suma o resta antes de sacar la raíz. La raíz cuadrada de x + y no es lo mismo que la raíz cuadrada de x + la raíz cuadrada de y .

Para ilustrar esto, conectemos algunos números reales. Digamos que x = 16 e y = 9. Lo resolveremos de dos maneras. A la izquierda está la solución correcta y a la derecha la solución incorrecta.

A la izquierda, primero sumas 16 + 9 para obtener 25 y luego sacas la raíz cuadrada de eso, que es 5. A la derecha, puedes ver que si distribuyes el radical antes de hacer la suma, terminas con un total respuesta diferente.

Podemos hacer lo mismo con la resta: nuevamente, a la izquierda, primero resta 25 – 9 para obtener 16, y luego saca la raíz cuadrada de eso para obtener 4. Pero si lo hace mal y distribuye el radical antes de restar , terminas con 2 como respuesta.

Con la suma y la resta, siempre haga la operación debajo del radical antes de comenzar a preocuparse por el radical en sí. Pero con la multiplicación y la división, es diferente: la raíz cuadrada de x * y es lo mismo que la raíz de x por la raíz de y . Para ilustrar esto, conectaremos algunos números: x = 9 e y = 4.

A la izquierda, toma 9 * 4 primero para obtener 36 y luego saca la raíz cuadrada de eso para obtener 6. A la derecha, toma la raíz cuadrada de 9 por la raíz cuadrada de 4, que es 3 * 2, que también es 6. Como puede ver, ambos le dan la misma respuesta.

Funciona de la misma manera con la división: la raíz cuadrada de 9/4 es lo mismo que la raíz cuadrada de 9 sobre la raíz cuadrada de 4. Entonces, con la suma y la resta, no se puede distribuir el signo del radical. Pero con la multiplicación y la división, se puede.

Poderes y álgebra

La misma regla exacta es válida para los poderes. Por ejemplo, cuando eleva al cuadrado una ecuación algebraica, no puede simplemente distribuir el cuadrado a través de la suma o la resta. Para aclarar esto, introduzcamos algunos números. Usaremos x = 3 e y = 4.

A la izquierda está la forma correcta de hacer la ecuación: primero agregue los números dentro del paréntesis y luego aplique el cuadrado. Usando este método, obtenemos 49 como respuesta.

A la derecha está la forma incorrecta de hacerlo: distribuir el cuadrado antes de sumar los números dentro del paréntesis. Usando este método incorrecto, obtenemos 25. ¡Esa es una gran diferencia! Lo mismo ocurre con la resta: ( x – y ) ^ 2 no es lo mismo que x ^ 2 – y ^ 2.

Está muy bien sumar los números cuando en realidad tienes números, pero ¿y si tienes una expresión como ( x + y ) ^ 2? Simplemente factorízalo: ( x + y ) ^ 2 = ( x + y ) ( x + y ). A partir de ahí, simplemente use FOIL para obtener x ^ 2 + 2 xy + y ^ 2.

Y solo para que conste, también vale la pena señalar lo que es equivalente ax ^ 2 – y ^ 2; esta es una ecuación importante llamada diferencia de cuadrados. x ^ 2 – y ^ 2 = ( x + y ) ( x – y ), no x – y ^ 2. Esta es una gran ecuación que volverá a aparecer en la prueba, así que manténgala al tanto.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió sobre algunos errores algebraicos comunes en el SAT y cómo evitarlos. Cuando trabajas con raíces y exponentes, es importante saber cuándo puedes distribuir la raíz o la potencia y cuándo no. En general, solo puede distribuir con multiplicación o división, no con suma o resta.

Es casi seguro que el SAT le dará al menos un problema en el que tendrá que saber esto, así que tenga cuidado de distribuir cada raíz y exponente que vea. ¡No dejes que la búsqueda de una respuesta fácil te tiente a cometer un error tonto!

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, ponga a prueba sus conocimientos:

• Resolver problemas matemáticos radicales y exponentes
• Recordar la importancia del orden de las operaciones y la propiedad distributiva para problemas matemáticos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador