Pendiente positiva: definición y ejemplo

¿Qué es la pendiente?

¿En qué piensas cuando escuchas la palabra ‘pendiente’? Puede pensar en una colina familiar que solía subir o bajar cuando era niño. Incluso podría pensar en la ladera de una montaña que se eleva desde el nivel del suelo, como esta.

¡Estos excursionistas de Klondike definitivamente conocen el significado de pendiente! A menudo usamos la palabra «pendiente» para describir la rapidez con la que una superficie sube o baja a medida que se mueve en la dirección horizontal. Cuanto más rápido cambia, más pronunciada es la pendiente.

En matemáticas, el significado no es muy diferente. La pendiente es simplemente cuánto cambia el gráfico de una línea en la dirección vertical sobre un cambio en la dirección horizontal. Debido a esto, la pendiente a veces se denomina tasa de cambio.

Las pendientes pueden ser positivas o negativas. Una pendiente positiva se mueve hacia arriba en un gráfico de izquierda a derecha. Una pendiente negativa se mueve hacia abajo en un gráfico de izquierda a derecha. Es importante tener en cuenta que trabajamos de izquierda a derecha cuando se trata de pendientes.

Ahora que sabe qué es la pendiente, ¿cómo calculamos exactamente la pendiente de una línea?

Cálculo de pendiente

Pongamos esa ladera de Klondike en un gráfico para que podamos medir su pendiente.

Para calcular la pendiente de la línea, necesitamos las coordenadas de dos puntos que se encuentran en esa línea. Este gráfico está organizado de manera que la ladera de la montaña comienza en (0, 0) y termina en (13, 9).

Para encontrar la tasa de cambio, necesitamos calcular el aumento , o el cambio a lo largo del eje y, frente a la carrera , que es el cambio a lo largo del eje x. En otras palabras, necesitamos encontrar la diferencia entre las coordenadas y y dividirla por la diferencia entre las coordenadas x. La fórmula que usaremos es:

S = ( y 2 – y 1 ) / ( x 2 – x 1 )

Aquí, x 1 y y 1 son la x y Y coordenadas del primer punto, y x 2 y y 2 son la x y Y coordenadas del segundo punto.

Como vamos de izquierda a derecha, usaremos (0, 0) como primer punto y (13, 9) como segundo punto. Entonces, y 2 es 9, y 1 es 0, x 2 es 13 y x 1 es 0. Podemos reemplazar esos valores en la fórmula para obtener:

S = (9 – 0) / (13 – 0)

S = 9/13

La ladera de la montaña tiene una pendiente positiva de 9/13, lo que significa que por cada 13 unidades que los excursionistas se muevan hacia la derecha, subirán la colina en 9 unidades.

Ahora, ¿qué pasaría si los excursionistas se cansasen y volvieran a caminar por la ladera de la montaña? La montaña no cambiaría, por lo que tampoco debería cambiar nuestra pendiente. Veamos qué sucede cuando invertimos el orden de los puntos en nuestra fórmula:

S = (0 – 9) / (0 – 13)

S = -9 / -13 o 9/13

La pendiente sigue siendo el 13/9. Lo que esto muestra es que la pendiente de una línea es independiente de la dirección en la que viajamos. No importa qué puntos usemos de una línea, o en qué orden los usemos, todavía obtenemos la misma pendiente.

Es importante tener en cuenta que si una línea tiene una pendiente positiva, los cambios en x e y siempre tendrá el mismo signo. Por ejemplo, cuando los excursionistas se movieron a lo largo del eje x en una dirección positiva, también se movieron a lo largo del eje y en una dirección positiva. Cuando se dieron la vuelta y viajaron en la dirección x negativa, también descendieron en la dirección y negativa.

Ejemplos de pendiente positiva

Echemos un vistazo a más ejemplos. Esta línea en el gráfico también tiene una pendiente positiva ya que se mueve hacia arriba de izquierda a derecha.

A primera vista, parece bastante empinado. Veamos qué tan empinada es realmente calculando su pendiente.

Podemos usar dos puntos cualesquiera de la línea para determinar su pendiente. Usaremos (0, 0) como nuestro primer punto porque eso facilitará los cálculos. Usaremos (1, 10) como nuestro segundo punto.

Eso significa que y 2 es 10, y 1 es 0, x 2 es 1 y x 1 es 0. Sustituyamos esos valores en nuestra fórmula de pendiente:

S = (10 – 0) / (1 – 0)

S = 10/1 o 10

Esta línea tiene una pendiente de 10. ¡Realmente es empinada! Y definitivamente tiene una pendiente positiva.

Echemos un vistazo a otra línea.

Este claramente tiene una pendiente menor que el anterior. Averigüemos exactamente qué tan pequeño.

Haremos (0, 2) nuestro primer punto y (10, 3) nuestro segundo punto.

S = (3 – 2) / (10 – 0)

S = 1/10

La pendiente de esta línea es definitivamente una pendiente pequeña pero positiva.

Pendiente negativa

Aunque esta lección se centra en la pendiente positiva, será útil analizar brevemente la pendiente negativa. De un vistazo rápido, vemos que esta línea tiene una pendiente negativa porque se mueve hacia abajo a medida que se mueve de izquierda a derecha.

Todavía podemos usar la misma fórmula para determinar la pendiente de esta línea. Usaremos (0, 9) como nuestro primer punto y (9, 0) como nuestro segundo punto.

S = (0 – 9) / (9 – 0)

S = -9 / 9

S = -1

Esta línea tiene una pendiente negativa porque un cambio positivo en la coordenada x da como resultado un cambio negativo en la coordenada y. Si una línea tiene una pendiente negativa, los cambios en X y Y siempre tendrán diferentes signos.

Resumen de la lección

La pendiente es cuánto cambia el gráfico de una línea en la dirección vertical sobre un cambio en la dirección horizontal. Si una línea tiene una pendiente positiva , los cambios en x e y siempre tendrá los mismos signos, y se moverá hacia arriba de izquierda a derecha. Si una línea tiene una pendiente negativa , los cambios en x e y siempre tendrá diferentes signos, y la línea se moverá hacia abajo de izquierda a derecha.

La fórmula para calcular la pendiente es:

S = ( y 2 – y 1 ) / ( x 2 – x 1 )

Podemos usar dos puntos cualesquiera en una línea para calcular su pendiente.

Términos clave

• Pendiente: en matemáticas, cuánto cambia la gráfica de una línea en la dirección vertical sobre un cambio en la dirección horizontal
• Pendiente positiva: en matemáticas, una línea que los cambios en x e y siempre tendrá los mismos signos, y se moverá hacia arriba de izquierda a derecha
• Pendiente negativa: en matemáticas, una línea que los cambios en x e y serán siempre tienen diferentes signos, y la línea se moverá hacia abajo de izquierda a derecha
• Subida: en matemáticas, un cambio en el eje y
• Ejecutar: en matemáticas, un cambio en el eje x

Si una línea tiene una pendiente positiva, los cambios en xey siempre tendrán el mismo signo.

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine la lección, es posible que se sorprenda de su capacidad para:

• Definir el término matemático ‘pendiente’
• Comparar y contrastar una pendiente positiva y una pendiente negativa
• Calcular la pendiente de una línea en un gráfico

Rodrigo Ricardo Editor y fundador