Regla del cociente: fórmula y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Definición y fórmula

La regla del cociente es una fórmula para obtener la derivada de un cociente de dos funciones. Hace que sea más fácil realizar un seguimiento de todos los términos. Veamos la fórmula.

Si tiene la función f ( x ) en el numerador y la función g ( x ) en el denominador, entonces la derivada se encuentra usando esta fórmula:

Fórmula de la regla del cociente

En esta fórmula, la d denota una derivada. Entonces, df ( x ) significa la derivada de la función f y dg ( x ) significa la derivada de la función g . La fórmula establece que para encontrar la derivada de f ( x ) dividida por g ( x ), debes:

  1. Tome g ( x ) por la derivada de f ( x ).
  2. Luego, de ese producto, debes restar el producto de f ( x ) por la derivada de g ( x ).
  3. Finalmente, divide esos términos por g ( x ) al cuadrado.

Dispositivo mnemónico

La fórmula de la regla del cociente puede ser un poco difícil de recordar. Quizás un pequeño cántico tipo yodeling pueda ayudarte. Imagínese una rana cantando, ‘LO dHI menos HI dLO sobre LO LO’. En este dispositivo mnemónico, LO se refiere a la función del denominador y HI se refiere a la función del numerador.

Traduzcamos el yodel de la rana a la fórmula de la regla del cociente.

LO dHI significa denominador multiplicado por la derivada del numerador: g ( x ) multiplicado por df ( x ).

menos significa ‘menos’.

HI dLO significa numerador multiplicado por la derivada del denominador: f ( x ) multiplicado por dg ( x ).

sobre significa ‘dividir por’.

LO LO significa tomar el denominador multiplicado por sí mismo: g ( x ) al cuadrado.

Ejemplos

Veamos un par de ejemplos en los que tenemos que aplicar la regla del cociente.

En el primer ejemplo, tomemos la derivada del siguiente cociente:

(

Definamos las funciones para la fórmula de la regla del cociente y el dispositivo mnemónico. La función f ( x ) (el HI ) es x ^ 3 – x + 7. La función g ( x ) (el LO ) es x ^ 2 – 3.

Ahora, tomemos la derivada de cada función. df ( x ), o dHI , es 3 x ^ 2 – 1. dg ( x ), o dLO , es 2 x .

Ahora, podemos organizar esas piezas en la fórmula o en el dispositivo mnemónico para encontrar la derivada, que como puede ver es:

((

Luego, puede multiplicar los términos en el numerador y combinar los términos similares para obtener su derivada final, que, como puede ver, es:

rehacer ecuación

Hagamos otro ejemplo. Encuentra la derivada del siguiente cociente:

(pecado

Comenzamos definiendo las funciones para la fórmula de la regla del cociente y el dispositivo mnemónico. La función f ( x ), el HI , es sen x . La función g ( x ), LO , es x ^ 4.

Ahora, tomemos la derivada de cada función. df ( x ), o dHI , es cos x . dg ( x ), o dLO , es 4 x ^ 3.

Ahora, podemos organizar esas piezas en la fórmula o en el dispositivo mnemónico para encontrar la derivada:

(

Podemos factorizar un factor común de x ^ 3 en el numerador y luego reducir la fracción para obtener la derivada final, que, como puede ver, es:

(

Resumen de la lección

Repasemos lo que acabamos de aprender en esta lección:

La regla del cociente es la fórmula para obtener la derivada del cociente de dos funciones. La formula es:

Fórmula de la regla del cociente

Una forma fácil de recordar la fórmula es con el dispositivo mnemónico: LO dHI menos HI dLO sobre LO LO. Y, por último, después de aplicar la fórmula, es posible que aún deba simplificar la expresión resultante.

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