Encontrar ceros de funciones

Encontrar el cero

Supongamos que te gusta pintar paisajes y tienes muchos en tu ático. Estás interesado en ganar un poco de dinero extra, así que pensaste que podrías venderlos en el mercado de vendedores ambulantes. Un puesto en el mercado cuesta $ 465. Planeas vender tus pinturas a $ 15 la pieza. Una función es un proceso que toma una pieza de datos (la entrada) y luego realiza ciertas operaciones en la entrada y produce una salida.

La función en esta situación sería A = -465 + 15 p , donde A es la cantidad de dinero que gana (la producción) yp es la cantidad de pinturas que vende (la entrada). ¿Cuántas pinturas necesitarías vender para pagar el stand? En otras palabras, ¿dónde está el punto de equilibrio? Este punto de equilibrio es el cero de esta función. Esta lección le mostrará cómo encontrar los ceros de varios tipos diferentes de funciones, así como también cómo encontrarlos usando una calculadora gráfica.

¿Qué es el cero de una función?

El cero de una función es el valor de x que cuando se conecta a la función da un valor de y de cero. Tiene otros nombres como la intersección con x y la raíz de la función. Si se da como un par ordenado, siempre tendrá algún número como la coordenada x seguida de un 0 para la coordenada y . Por ejemplo, (4,0), (-2,0) y (0,0) podrían ser todos ceros de alguna función. Gráficamente, el cero de una función es la intersección del eje x y la gráfica de la función. Los diferentes tipos de funciones tienen diferentes números de ceros. La gráfica de algunas funciones no cruza el eje x y, por lo tanto, no tiene ceros ( x-intercepciones). Otras funciones tienen una o más. Encontrar estos ceros es una tarea muy común en álgebra.

Funciones lineales y cuadráticas

Las funciones lineales son funciones que se pueden poner en la forma y = mx + b . Sus gráficos son siempre líneas. Las funciones lineales tendrán como máximo un cero. El cero de una función lineal se puede encontrar reemplazando la y con cero y luego despejando x .

Las funciones cuadráticas son funciones que se pueden poner en la forma f ( x ) = ax 2 + bx + c , que se llama forma estándar. Gráficamente, estos gráficos son parábolas. Los ceros de la función son donde f ( x ) = 0. Estas funciones pueden tener 0, 1 o 2 ceros reales. Existen varias técnicas para encontrar los ceros de una función cuadrática, incluida la propiedad de la raíz cuadrada, factorizar, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática. De todas estas técnicas, la fórmula cuadrática es la más útil porque funcionará para todas las funciones cuadráticas. Requiere que usted determine los valores de a , b y cy luego inserte esos valores en la fórmula cuadrática.

Otras funciones

Veamos algunas de las otras funciones que existen.

1. Polinomios de orden superior

Para polinomios que tienen un grado mayor que 2, encontrar ceros se vuelve mucho más difícil. Existe una pequeña posibilidad de que el polinomio factorice. También puedes usar el teorema de la raíz racional , que dice que SI un polinomio tiene una raíz racional (cero), existirá en un valor de x tal que x es uno de los factores del término constante dividido por uno de los factores de la coeficiente al término principal. Observe que era un SI grande; muchas veces el polinomio no tendrá una raíz racional. Con polinomios de orden superior, el método más fácil de encontrar el cero es el uso de una calculadora gráfica.

2. Funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones exponenciales estarán en forma de ab x . Si la función exponencial se ajusta a esta forma y el valor de b no es cero; entonces la función no tendrá cero. La gráfica nunca cruzará el eje x . La ubicación de la intersección y será (0, a ). Las funciones logarítmicas son funciones inversas a funciones exponenciales. Si una función exponencial tiene una intersección en y en (0, a ), entonces su función logarítmica inversa tendrá una intersección en x (cero) en ( a , 0).

3. Funciones racionales

Finalmente, las funciones racionales son funciones en la forma de f ( x ) = p ( x ) / q ( x ), donde p ( x ) yq ( x ) son polinomios y q ( x ) no puede ser igual a cero. Para encontrar el cero de funciones racionales, encuentre los ceros de p ( x ).

Usar una calculadora gráfica

La calculadora gráfica se puede utilizar para encontrar las raíces reales de funciones. Para encontrar los ceros de una función con una calculadora gráfica, siga estos pasos. Las instrucciones dadas aquí son para las calculadoras gráficas TI-83 y 84. Otras marcas realizarán las mismas operaciones con botones similares.

1. Escriba la función en el banco de funciones y = (botón superior izquierdo).
2. Grafique la función usando el botón » Gráfico » (botón superior derecho).
3. Utilice la ventana estándar de 10 por 10 seleccionando el botón » Zoom » y luego el estándar z.
4. Si no ve una intersección de la gráfica y el eje x , aumente sus valores x -min y x -max hasta que lo vea.
5. Una vez a la vista, seleccione el segundo Calc.
6. Seleccione cero.
7. La pantalla dirá «Left Bound»; mueva el cursor a la izquierda del cero y presione «Enter».
8. La pantalla dirá «Right Bound»; mueva el cursor a la derecha del cero y presione «Enter».
9. La pantalla dirá » Adivina; » presiona » Enter ».
10. Su valor x es su cero o raíz.

La calculadora gráfica no encontrará raíces no reales.

Resumen de la lección

Muy bien, tomemos un momento para revisar lo que hemos aprendido sobre cómo encontrar los ceros de una función, siendo una función un proceso que toma un dato (la entrada) y luego realiza ciertas operaciones en la entrada y produce una salida. . Como aprendimos, encontrar el cero de una función medios para encontrar el punto ( a , 0), donde la gráfica de la función y la Y se cruzan intercepción. Para encontrar el valor de a desde el punto ( a , 0), necesitas establecer la función igual a cero y luego resolver para x . Esto implica el uso de diferentes técnicas según el tipo de función que tengas. Las funciones que miramos son las siguientes:

• Funciones lineales , que son funciones que se pueden poner en la forma y = mx + b .
• Funciones cuadráticas , que son funciones que se pueden poner en la forma f ( x ) = ax 2 + bx + c , que se llama forma estándar.
• Polinomios de orden superior, pero usando el teorema de la raíz racional , que dice que SI un polinomio tiene una raíz racional (cero), entonces existirá en un valor de x tal que x es uno de los factores del término constante dividido por uno de los factores del coeficiente al término principal.
• Funciones exponenciales , que tiene la forma ab x .
• Funciones logarítmicas , que son funciones inversas a funciones exponenciales.
• Funciones racionales , que son funciones en la forma de f ( x ) = p ( x ) / q ( x ), donde p ( x ) yq ( x ) son polinomios y q ( x ) no puede ser igual a cero.

También aprendimos cómo hallar el cero de una función graficando la función en una calculadora gráfica y luego buscando el punto de intersección.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador