Raíces complejas
Supongamos que está leyendo un tabloide y ve una propaganda en la tabla de contenido que dice que la popularidad de una estrella en los medios (basada en la cantidad de artículos que se escriben sobre la estrella) parece estar bajando por un tiempo. , pero luego hubo algún tipo de escándalo, lo que provocó que la popularidad de la estrella subiera lentamente de nuevo.
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Esto te lleva a preguntarte si alguna vez hubo un momento en que la popularidad de la estrella no existió durante este tiempo. En otras palabras, ¿fue alguna vez en un momento en el que no se escribían artículos sobre esta persona? Verá que la propaganda dice que la popularidad de la estrella, en el transcurso del último mes, podría modelarse mediante la ecuación P = x 2 – 30 x + 229, donde P es el número de artículos que mencionan a la estrella y x es número de día durante los últimos 30 días.
Está un poco confundido sobre por qué pusieron esta fórmula matemática aleatoria en el artículo, pero está contento de que lo hayan hecho, ¡porque puede usarla para responder a su pregunta! Para saber si, en algún momento, la estrella no se menciona en ningún artículo, simplemente ingrese 0 para P y resuelva.
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x 2 – 30 x + 229 = 0
En primer lugar, notamos que el exponente más alto en esta ecuación es 2. Esto nos dice que esta es una ecuación cuadrática. Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones en las que el máximo exponente de la variable es 2. En segundo lugar, notamos que al resolver esto, estamos encontrando los valores de x que hacen que P sea cero. Hay un nombre para estos valores, que son las raíces de la ecuación, ya que son los valores que hacen que la ecuación sea verdadera.
No está seguro de cómo resolver esto, así que simplemente tome el camino más fácil y use la función de resolución de su calculadora gráfica. La calculadora dice que las soluciones, o raíces, de esta ecuación son x = 15 + 2 i y x = 15 – 2 i . ¡Espera, estos son números complejos! Los números complejos son números de la forma a + bi , donde i = √-1.
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¿Entonces qué nos dice esto? Bueno, dado que las únicas raíces son números complejos, no hay números reales que satisfagan la ecuación. Esto nos dice que no puede ser el caso de que la estrella haya llegado al punto de no ser mencionada en ningún artículo durante este período de 30 días.
Bueno, ¡eso es bastante bueno! Podemos averiguar mucho sobre una situación modelada por una ecuación cuadrática cuando esa ecuación tiene raíces complejas. Decide que desea explorar más a fondo la búsqueda de raíces complejas de ecuaciones cuadráticas. ¡No te culpo!
Gráficos cuadráticos y raíces cuadráticas
¿Y si no hubiera tenido su calculadora a mano para resolver este problema? Bueno, imagina que podría haber graficado P = x 2 – 30 x + 229 a mano y analizar el gráfico.
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Para encontrar la respuesta a su pregunta de si la popularidad de la estrella estuvo alguna vez en 0, habría querido encontrar los valores de x donde P = 0. Dado que P = 0 a lo largo del eje x , habría querido encontrar los valores de x donde la gráfica cruzó el eje x . ¡Ordenado! Vemos que las intersecciones con el eje x de una gráfica corresponden a las raíces de la ecuación. En este caso, las intersecciones con x serían las raíces de x 2 – 30 x + 229 = 0. Observa en la gráfica que no hay intersecciones con x . Esto tiene mucho sentido. Por supuesto, el gráfico no tendría ningún valor real.x- intercepciones, ya que no hay raíces reales. Vemos que cuando la gráfica de una ecuación cuadrática no tiene intersecciones en x , debe darse el caso de que las raíces sean complejas.
La fórmula cuadrática
Todas estas conexiones siguen despertando su interés. Sabe cómo determinar si una ecuación cuadrática tiene raíces complejas por su gráfica, pero comienza a preguntarse cómo hallaría esas raíces algebraicamente si no tuviera su calculadora. Bueno, ¡tengo buenas noticias! Podemos encontrar esas raíces usando la fórmula cuadrática. La fórmula cuadrática es una fórmula que da las soluciones a la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, y se ilustra en la imagen a continuación.
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Quizás recuerde que la fórmula es x = (- b +/- sqrt ( b 2 – 4 ac )) / 2 a . Bueno, que se parece a una fórmula muy involucrado, pero realmente todo lo que tenemos que hacer es conectar un , b , y c de la ecuación y luego se simplifican lenta y cuidadosamente. Siendo realistas, eso no es tan malo. Hagamos esto con nuestra ecuación x 2 – 30 x + 229 = 0. Tenemos que a = 1, b = -30 y c = 229. Los conectamos a nuestra fórmula cuadrática y simplificamos, que puedes ver a continuación. .
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Podemos ver que obtenemos la misma respuesta que le dio su calculadora; es decir, x = 15 + 2 i y x = 15 – 2 i .
Resumen de la lección
Tomemos un momento para revisar la información importante que aprendimos en esta lección sobre cómo encontrar las raíces complejas de ecuaciones cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones en las que el exponente más alto de la variable es 2. La fórmula cuadrática es una fórmula que da las soluciones a la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Las raíces de una ecuación cuadrática son los valores que forman la ecuación cierto. Estas raíces son también las intersecciones en x de la gráfica de y = ax 2 + bx + c .
Las ecuaciones cuadráticas pueden tener raíces complejas , o una raíz que es compleja, donde un número complejo tiene la forma a + bi , donde i = √-1. Podemos encontrar raíces complejas de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 usando la fórmula cuadrática:
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¡Increíble! Mire todo lo que aprendió simplemente por tener curiosidad sobre las tendencias de popularidad en el estrellato. ¡Mantén esa curiosidad!
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