Escribir y evaluar modelos lineales de la vida real: procesos y ejemplos

Un dilema de la vida real

Jill está preparando su presupuesto mensual. En este momento, ella está trabajando en su factura de electricidad. Tiene un estado de cuenta de su compañía de electricidad que muestra los kilovatios por hora que usa para cada mes. Sabe que la tarifa por kilovatio por hora es de 8,2 centavos, pero no sabe cuánto le cuesta al mes. ¿Cómo va a calcular Jill sus facturas mensuales si no sabe cuánto le cuestan sus facturas de electricidad? Jill puede usar un modelo lineal para escribir ecuaciones que la ayudarán a predecir el costo de sus facturas mensuales.

Definición de modelo lineal

Un modelo lineal es una comparación de dos valores, por lo general x y y , y el cambio constante entre los valores. En la historia de apertura, Jill estaba analizando dos valores: la cantidad de electricidad utilizada y el costo total de su factura. El cambio entre estos dos valores es el costo de cada kilovatio hora. ¿Sigues un poco confundido? Volveremos a esto más tarde.

Por ahora, hablemos de ese cambio constante, que también se conoce como la tasa de cambio ; en álgebra, lo llamamos pendiente . Probablemente esté familiarizado con la pendiente de una línea: describe tanto la longitud como la inclinación de la línea.

Bien, volvamos a nuestro ejemplo. Probablemente ya te hayas dado cuenta de que cuanta más electricidad use Jill, más alta será su factura a fin de mes. Por lo tanto, la tasa de cambio nos muestra cuánto aumentará esa factura a medida que Jill use más electricidad.

Como puede ver, los modelos lineales son muy aplicables a la vida real y pueden usarse para predecir cierta información que es útil para tomar decisiones y resolver problemas.

Variables independientes y dependientes

Antes de que podamos calcular cuánto va a ser la factura de Jill, necesitamos conocer las variables independientes y dependientes .

Una variable independiente es una variable que está aislada y es la entrada para la ecuación. Por ejemplo, si realizara un experimento y determinara cuánta agua necesita una planta para sobrevivir, podría intentar usar diferentes cantidades de agua en plantas con las mismas condiciones de iluminación y suelo. Está utilizando agua como variable independiente o como entrada en esta situación. En una ecuación lineal, x representa la variable independiente.

La variable dependiente es el resultado de la variable independiente o la salida. Después de regar sus plantas, es posible que desee medir cuánto creció cada planta. La cantidad que crece la planta depende de la cantidad de agua que le haya dado. En una ecuación lineal, y representa la variable dependiente.

Escribir ecuaciones lineales

En nuestro ejemplo, Jill tiene dos datos que son muy importantes para este problema: la cantidad de electricidad y el costo de la factura. ¿Qué información es la variable dependiente y qué información es la variable independiente? Bueno, el costo de la factura depende de la cantidad de electricidad que use Jill. Por lo tanto, el costo de la factura es la variable dependiente y la cantidad de electricidad es la variable independiente. Podemos escribir nuestro modelo lineal así: y = .082 x , donde y es el costo de la factura y x es la cantidad de electricidad utilizada.

Puede usar la forma pendiente-intersección, que es y = mx + b , para escribir ecuaciones para modelos lineales. m es la pendiente o la tasa de cambio y b es la intersección con el eje y . A menudo, la intersección con el eje y representa el punto de partida de la ecuación. Por ejemplo, si Jill tuviera una tarifa de $ 20 por mes por su factura de electricidad, entonces su factura siempre sería de $ 20 o más. Por lo tanto, nuestra ecuación sería y = .082 x + 20. La gráfica de nuestra ecuación se vería así.

Ahora Jill puede usar un gráfico como este para calcular cuánto será la factura de electricidad de cada mes. Si usa 1200 kilovatios por hora en septiembre, entonces su factura sería de alrededor de $ 118,40.

Evaluación de ecuaciones y modelos lineales

El esposo de Jill, Danny, tiene un auto que quiere vender. El coche es bastante normal con pocos daños y kilometraje medio. Han tenido el coche durante cinco años. Danny quiere saber cuánto valdrá su coche ahora y en dos años. Ha desarrollado la siguiente fórmula para ayudarle en la toma de decisiones: y = -500 x + 16.000. Podemos usar lo que sabemos de los modelos lineales para comprender y evaluar esta ecuación.

Recuerde, la forma pendiente-intersección de una ecuación es y = mx + b . Podemos ver un patrón similar con la ecuación de Danny: y = -500 x + 16,000. Primero, examinemos los números en la ecuación de Danny. El primer número que aparece en la ecuación es -500. Este número se encuentra en el punto m , o pendiente, en la ecuación pendiente-intersección. Eso me dice que -500 representa la tasa de cambio en el escenario. Eso tiene sentido, porque sabemos que es probable que el valor del automóvil de Danny se deprecie con el paso del tiempo. Por tanto, la pendiente será negativa y descenderá, en lugar de ascender.

El siguiente número que se destaca es 16.000. Este número está sentado en la b o y intercepción lugar en la ecuación pendiente-intersección. Eso me dice que 16,000 representa el punto de partida para el auto de Danny. ¿Qué tipo de punto de partida? Bueno, ya que estamos hablando de costos y depreciación, puedo suponer que el automóvil originalmente valía $ 16,000.

Ahora, identifiquemos las variables independientes y dependientes. Ya sabemos que y representa la variable dependiente y x representa la variable independiente, pero ¿qué significa eso con respecto al escenario?

Ya sabemos que -500 representa la tasa de cambio con respecto al tiempo. Por lo tanto, podemos identificar x como el año o la época. Esto tiene sentido porque x es la variable independiente y el tiempo no suele esperar ni depende de nada, y mucho menos del costo de un automóvil.

Eso nos deja con y , o la variable dependiente. Como ya sabemos que Danny quiere saber el costo del automóvil después de un tiempo, podemos deducir que y representa el costo depreciado del automóvil en un momento determinado.

Ahora estamos listos para evaluar esta ecuación, para que Danny pueda tomar una decisión informada sobre la venta de su automóvil. Sabemos que en el momento de la compra, el automóvil valía $ 16,000. Eso se representa en este gráfico como (0,16000). No ha pasado el tiempo: nuestro valor x es igual a cero. No olvide que Danny ha sido propietario de este automóvil durante 5 años. Entonces, ¿cuánto vale su coche actualmente? Podemos usar la ecuación y = -500 x + 16,000 para encontrar la respuesta. Simplemente reemplace x con 5 y evalúe la ecuación.

y = -500 (5) + 16 000

y = -2.500 + 16.000

y = 13.500

Ahora sabemos que el auto de Danny vale actualmente $ 13,500 y nuestro punto en el gráfico sería (5, 13500). Danny también quiere saber cuánto valdría su coche dentro de dos años. Eso nos daría la ecuación y = -500 (7) + 16.000. Puede que te preguntes, ‘¿de dónde vienen los 7?’ Recuerde que el automóvil ya tiene 5 años y nuestra ecuación representa el valor del automóvil en ese momento. Por lo tanto, no podemos simplemente tener y = -500 (2) + 16,000 porque eso nos daría cuánto valía el automóvil cuando tenía dos años.

Ahora que tenemos la ecuación correcta, es hora de evaluar:

y = -500 (7) + 16.000

y = -3,500 + 16,000

y = 12.500

Danny puede predecir que su automóvil valdrá $ 12,500 en los próximos dos años. Por supuesto, esto es solo un ejemplo. Realmente no representa cuánto vale su automóvil, ya que eso depende del kilometraje, el tipo de automóvil, el consumo de combustible, los daños y otros factores.

Resumen de la lección

En resumen, puede utilizar cuatro piezas de información para evaluar y escribir modelos lineales. Primero, debe conocer la pendiente o la tasa de cambio, que es la longitud y la pendiente de la línea. En el último ejemplo, vio que la pendiente representa cuánto cambia algo con el tiempo. También necesita conocer las variables independientes y dependientes. La variable independiente es la variable que está sola o es la variable de entrada. Por ejemplo, si su modelo lineal usa tiempo, el tiempo casi siempre será la variable independiente. La variable dependiente es la variable que es el resultado de la variable independiente o la salida. Por ejemplo, si necesita saber el costo total de algo, el costo a menudo depende de otros factores. El costo casi siempre se considera la variable dependiente. Por último, si su modelo lineal tiene una tarifa adicional o un punto de partida,Intersección y de la ecuación lineal.

Los resultados del aprendizaje

Vea y estudie esta lección para que pueda hacer lo siguiente:

• Recuerde qué es un modelo lineal y para qué se utiliza
• Determinar cómo encontrar la tasa de cambio.
• Identificar y comprender el significado de los valores X e Y en la gráfica.
• Calcular una ecuación lineal y graficar un modelo lineal

Rodrigo Ricardo Editor y fundador