Evaluación de integrales definidas usando el teorema fundamental

Una integral definida

Vayamos directamente a esta lección sobre integrales definidas. Una integral definida es la integral de una función desde un punto inicial hasta un punto final. Verá pequeños números en la parte superior e inferior de su signo integral que le indica dónde comienza su integración y dónde termina. El valor inferior le da su punto de partida y el valor superior le da su punto final.

Este es un ejemplo de una integral definida general:

Cuando lo lees, lo lees diciendo: ‘la integral definida de la función f de x desde el punto a al punto b con respecto ax .

El teorema fundamental del cálculo

Para ayudarnos a evaluar nuestras integrales definidas, tenemos un teorema fundamental de cálculo . Este teorema nos dice que la integral definida de f o x del punto a al punto b , con respecto a x , es igual a la integral de f de x evaluada en el punto b menos la integral de f de x evaluada en el punto a .

Matemáticamente escribimos esto donde nuestra F grande representa la integral. Este teorema fundamental del cálculo en realidad nos ayuda mucho cuando se trata de evaluar nuestra integral definida. De hecho, nos lo hace muy fácil, especialmente cuando hemos memorizado nuestras integrales comunes, así como nuestras reglas de integración comunes, como la regla de potencia.

Echemos un vistazo a un par de ejemplos para ver qué tan fácil es.

Ejemplo 1

Evaluar:

Para evaluar esta integral definida, encontramos en primer lugar la integral de 3 x ^ 2, es 3 x ^ 3/3 = x ^ 3 + C . Tenemos la constante de integración C cuando tomamos la integral general. Cuando tomamos la integral definida, terminamos restando C de C , lo que esencialmente la elimina, por lo que no nos preocupamos por eso cuando trabajamos con integrales definidas.

Ahora podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo. Primero se evalúa la x ^ 3 + C en el punto x = 3. La conexión de 3 para x obtenemos: 3 ^ 3 + C = 27 + C .

Ahora se evalúa la x ^ 3 + C en el punto x = 1. La conexión de 1 de x obtenemos: 1 ^ 3 + C = 1 + C .

Ahora restando el (1 + C ) del (27 + C ) obtenemos: (27 + C ) – (1 + C ) = 27 – 1 = 26.

26 es nuestra respuesta. ¿Ves cómo cuando aplicamos el teorema fundamental del cálculo la C desaparece? Sepa esto, podemos simplemente omitir la C siempre que trabajemos con integrales definidas. Solo recuerde traer de vuelta la C cuando trabaje con integrales generales o indefinidas.

Ejemplo 2

Evaluar:

Estamos trabajando con una integral definida para que podamos dejar fuera la constante de integración a lo largo de nuestro problema. Entonces la integral de 2 cos x es 2 sin x . Nuestra integral definida luego se evalúa como 2 sin ( pi / 2) – 2 sin (0).

Restamos nuestra integral evaluada en 0 de nuestra integral evaluada en ( pi / 2). Nuestra respuesta es 2 sin ( pi / 2) – 2 sin (0) = 2 (1) – 2 (0) = 2, y hemos terminado.

Como se nos da pi / 2, calculamos o firmamos funciones usando radianes. Cuando vemos pi en nuestros ángulos de trigonometría, nos dice que estamos trabajando en radianes y no en grados.

Resumen de la lección

Repasemos lo que aprendimos. Una integral definida es la integral de una función desde un punto de partida hasta un punto final. Una integral definida se ve así:

Nuestro punto de partida es una y nuestro punto final es b , y nuestra función es f ( x ).

El teorema fundamental del cálculo nos dice que la integral definida de f de x desde el punto a al punto b , con respecto a x , es igual a la integral de f de x evaluada en el punto b menos la integral de f de x evaluada en el punto a . Si notamos nuestra integral con una F grande , podemos escribir el teorema fundamental del cálculo de la siguiente manera:

Para usar este teorema fundamental del cálculo para ayudarnos a evaluar integrales definidas, primero encontramos nuestra integral. Luego lo evaluamos en el punto by el punto a , y luego restamos.

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Rodrigo Ricardo Editor y fundador