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Factorización prima: definición y ejemplos

Publicado el 14 noviembre, 2020

Factorización prima

En matemáticas, los factores son los números que se multiplican para crear otro número. La factorización prima de un número, entonces, son todos los números primos que se multiplican para crear el número original. Sería bastante difícil realizar la factorización prima si no actualizáramos nuestra memoria con los números primos. Un número primo es un número que solo se puede dividir entre 1 y él mismo. Aquí hay algunos números primos para comenzar:

Números primos
2
3
5
7
11
13
17
19
23

Pueden parecer un montón de números aleatorios, pero tienen una cosa muy importante en común: solo son divisibles entre uno y ellos mismos.

Árboles de factores

Una forma de pensar en resolver la factorización prima de un número es representar las hojas de un árbol. El árbol es el número dado. A medida que lo descomponemos, creamos ramas, y cuando llegamos a los factores más pequeños, vemos las hojas.

La conexión con los árboles no es un accidente. En matemáticas, a menudo usamos árboles de factores como método para realizar la factorización prima. Veamos un ejemplo usando el número 70.

factorización prima de 70 paso 1

Piense en los factores que nos darán un producto de 70. Como 70 es un número par, sabemos que es divisible por 2: 2 * 35 nos dará 70.

factorización prima de 70 paso 2

2 es primo, pero 35 no lo es, así que tenemos que seguir adelante. ¿Qué factores nos darán un producto de 35?

5 * 7 = 35, así que analicemos eso una vez más.

factorización prima de 70 paso 3

Los números que nos quedan no se pueden desglosar más. Ahora que solo nos quedan números primos, podemos encontrar la factorización prima de 70 observando las hojas de nuestro árbol.

factorización prima de 70 completa

La factorización prima de 70 es 2 * 5 * 7.

Pero, ¿cómo sabemos que esto es correcto? Aquí hay una pista: siempre podemos comprobar nuestro trabajo. Simplemente multiplique sus factores para asegurarse de que den como resultado su valor original. ¿2 * 5 * 7 realmente es igual a 70? Bueno, 2 * 5 = 10 y 10 * 7 = 70. ¡Entonces, sí!

Pero, ¿y si elegimos dos factores diferentes para 70 durante el primer paso? ¿Aún obtendríamos la misma respuesta? ¡Vamos a ver!

factorización prima alternativa de 70

Esta vez, intentemos un árbol de factores usando dos factores diferentes que nos dan 70. Cuando multiplicamos 7 * 10, todavía obtenemos 70.

7 es un número primo porque solo es divisible por sí mismo y 1. ¿Qué pasa con 10? Hay varias formas de obtener un producto de 10, por lo que podemos desglosarlo más. 2 * 5 nos da 10, así que agregémoslo a nuestro árbol. Dado que 2 y 5 son números primos, no se pueden desglosar más y ahora hemos terminado.

Las hojas te dicen que la factorización prima de 70 es 2 * 5 * 7, ¡así que obtendríamos la misma respuesta!

Cada número tiene su propio conjunto único de factores primos, independientemente del camino que tomemos para encontrarlos. No importa con qué factores empecemos, si continuamos hasta que solo queden factores primos, obtendremos la respuesta correcta. Es una etiqueta matemática adecuada escribir su respuesta con los valores primos en orden de menor a mayor. Dependiendo de cómo factorizó su número original, es posible que sea necesario reorganizarlo.

Ejemplo 2

Hagamos otro ejemplo. ¿Cuál es la factorización prima de 92 expresada en forma exponencial?

Primero, hagamos un árbol de factores para 92. Ya sabemos que 2 es un número primo, así que intentémoslo primero. ¿Hay un número que podamos multiplicar por 2 para darnos 92? ¡Sí, el número 46!

Dado que 46 es divisible por números distintos a sí mismo y 1, debemos continuar.

2 * 23 = 46

Dado que ambos números son primos, hemos completado nuestra factorización prima. En este punto, sabemos que la factorización prima de 92 es 2 * 2 * 23. Revisemos nuestro trabajo.

2 * 2 = 4

4 * 23 = 92

factorización prima de 92

Sin embargo, aún no hemos terminado porque la pregunta nos pidió que escribiéramos nuestra respuesta en forma exponencial. Recuerde que los exponentes se utilizan para indicar la cantidad de veces que un número se multiplica por sí mismo. En este caso, en lugar de tener un 2 * 2, tenemos que expresarlo como 2 elevado a 2, o 2 al cuadrado. La respuesta final se vería así:

factorización prima de 92 en forma exponencial

¿Por qué utilizar factores primos?

Quizás se pregunte cuándo utilizará esta información. Bueno, estoy seguro de que las fracciones son uno de tus temas favoritos, así que vamos a tocarlos por un momento. ¿Qué pasaría si tuvieras la fracción de 70/92 y te pidieran que la simplificaras? Puede utilizar la factorización prima de cada número y cancelar los términos comunes.

aplicación de factorización prima

El factor común de 2 se canceló desde arriba y desde abajo, dejando la fracción simplificada de 35/46. Puedes estar seguro de que la respuesta está completamente simplificada porque hiciste la factorización prima de 70 y 92 y no hay otros factores comunes.

Esto se convertirá en una parte útil de tus habilidades matemáticas a medida que avances hacia álgebra de nivel superior o cuando trabajes con números con los que no estás muy familiarizado. ¡Siempre puedes confiar en los números primos para simplificar las cosas!

Resumen de la lección

Encontrar la factorización prima de un número es descomponerlo en los números más pequeños posibles. Recuerda que tu respuesta sólo debe contener números primos , o aquellos números que sólo son divisibles por sí mismos y por uno. Un método útil para hacer esto son los árboles de factores , donde las “hojas” en los extremos de las “ramas” son los factores primos del número con el que comenzaste.

Para verificar su trabajo, todo lo que necesita hacer es multiplicar los factores que encontró para su respuesta. Si, cuando se multiplica, el producto es el número original con el que comenzó, ha completado con éxito la factorización prima. Si alguno de los factores primos aparece más de una vez, como 2 en la factorización prima de 92 (2 * 2 * 23), entonces puedes escribir la factorización prima en forma exponencial para que solo tengas que escribir el factor primo recurrente una vez. , usando un exponente para mostrar cuántas veces se repite.

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