Funciones discontinuas: propiedades y ejemplos

¿Qué es una función discontinua?

Es posible que ya haya oído hablar de una función continua, que es una función en un gráfico que es una curva continua. Cuando dejas tu lápiz para dibujarlo, nunca lo levantas hasta que la función esté completa.

Una función discontinua es lo contrario. Es una función que no es una curva continua, lo que significa que tiene puntos que están aislados entre sí en un gráfico. Cuando dejas el lápiz para dibujar una función discontinua, debes levantar el lápiz al menos un punto antes de que se complete.

Si alguna vez ve una función con una interrupción de cualquier tipo, entonces sabrá que la función es discontinua. En la función que tenemos aquí, puedes ver cómo la función continúa con una pausa.

La función discontinua se detiene donde x es igual a 1 e y es igual a 2, y vuelve a retomar donde x es igual a 1 e y es igual a 4.

Propiedades

Hay algunas propiedades que son específicas de las funciones discontinuas y dos son particularmente importantes:

Primero, la función siempre se interrumpe en un punto determinado o en varios puntos. Como ya hemos discutido, las funciones discontinuas tienen puntos donde el gráfico simplemente se detiene y retoma en otro lugar.

En segundo lugar, el límite de la función en un punto de discontinuidad no está definido para la mayoría de las funciones discontinuas, pero no en todos los casos. El límite se puede definir pero aún se considera discontinuo.

Ahora, exploremos algunos de los tipos comunes de funciones discontinuas.

Discontinuidades removibles

Un tipo de discontinuidad se llama discontinuidad removible o agujero. Se llama removible porque el punto se puede redefinir para hacer que la función sea continua haciendo coincidir el valor en ese punto con el resto de la función.

Cuando se grafica, una discontinuidad removible, o un agujero, es solo un valor faltante en la función. Todo lo demás parece un gráfico continuo. Si definimos ese punto faltante, habremos eliminado la discontinuidad.

La discontinuidad removible se indica en el gráfico mediante un pequeño círculo en el punto de discontinuidad. ¿Ves cómo si definimos ese punto en particular como el mismo que la función en ese punto, habremos eliminado la discontinuidad?

Saltar discontinuidades

Otro tipo de discontinuidad se llama discontinuidad de salto . Este tipo de discontinuidad es donde el gráfico se detiene en un punto y retoma en un punto completamente diferente.

Si tomamos el límite de la función a medida que se acerca al punto desde cualquier lado, obtendremos una respuesta diferente. Mirando el gráfico, si nos acercamos a la discontinuidad desde el lado izquierdo, parece que llegamos a 2. Si nos acercamos a la discontinuidad desde el lado derecho, llegamos a lo que parece 4. Por eso llamamos a este tipo de funcionar una discontinuidad de salto; salta de un valor a otro en un punto determinado.

Discontinuidades asintóticas

En una discontinuidad asintótica , los gráficos se acercan a un punto pero nunca lo tocan. El gráfico va hacia el infinito en determinados puntos. Como puede ver en nuestro gráfico, sube o baja hasta el infinito positivo o negativo. El gráfico evita la asíntota. En el caso de nuestra gráfica, la asíntota es x igual a 0.

Resumen de la lección

Las funciones discontinuas son funciones que no son una curva continua: hay un agujero o salto en el gráfico. Es un área donde el gráfico no puede continuar sin ser transportado a otro lugar.

Hay muchos tipos de continuidades. En una discontinuidad removible, el punto se puede redefinir para hacer que la función sea continua haciendo coincidir el valor en ese punto con el resto de la función. En una discontinuidad de salto, el gráfico se detiene en un punto y retoma en un punto completamente diferente. En una discontinuidad asintótica, el gráfico se acerca a un punto pero nunca lo toca, y el gráfico se dirige hacia el infinito en ciertos puntos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador