¿Qué son las funciones hiperbólicas inversas?
Suponga que tiene la tarea de llevar a su perro a pasear y su perro se niega obstinadamente. A medida que su perro se resiste, usted tira más y más fuerte de su correa. Finalmente, estás en un tira y afloja con el perro que lucha y caminas por la acera con la correa tensa y tu perro parado en medio de tu camino de entrada, que es perpendicular a la acera. Eventualmente dominas a tu perro y comienza a arrastrarse en una trayectoria inusual como se muestra en la figura:
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Este camino se llama tractrix . Si la posición inicial del perro es (0, a), entonces, en términos de coordenadas cartesianas, la posición del paseador de perros con respecto a la posición del perro es:
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Un término utilizado en esta ecuación de movimiento es la función secante hiperbólica inversa . Esta función es miembro de una clase de funciones conocidas como funciones hiperbólicas inversas. Esta lección presenta detalles esenciales sobre algunas de estas funciones.
Ejemplos de funciones hiperbólicas inversas
La función seno hiperbólico inverso (arcsinh (x)) se escribe como
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La gráfica de esta función es:
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Tanto el dominio como el rango de esta función son el conjunto de números reales. Esta función puede reformularse en términos de logaritmo natural. Empezar con
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Para encontrar la inversa, resuelva para x y luego intercambie x e y.
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La derivada de arcsinh (x) se puede encontrar diferenciando la representación logarítmica natural.
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La función coseno hiperbólico inverso (arccosh (x)) se escribe como
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Esta función no es uno a uno. La inversa de cosh (x) se obtiene si y solo si se usa la versión restringida de esta función:
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La gráfica de esta función es:
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Esta función puede reformularse en términos de logaritmo natural. Empezar con
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La derivada de arccosh (x) se puede encontrar diferenciando la representación logarítmica natural.
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La función tangente hiperbólica inversa (arctanh (x)) se define como
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La gráfica de esta función es:
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Esta función puede reformularse en términos de la función logarítmica natural.
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Usando la formulación logarítmica natural, se puede obtener la derivada como:
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La función secante hiperbólica inversa (arcsech (x)) se puede definir como
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La gráfica de esta función es:
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La función puede reformularse en términos de la función logarítmica natural.
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Usando la formulación logarítmica natural, se puede obtener la derivada como:
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Resumen de la lección
El lector puede haber notado que todas las funciones hiperbólicas tienen inversas, pero no todas las funciones hiperbólicas son una a una, lo cual es un requisito para que cualquier función tenga una inversa. Para obtener un inverso de una función hiperbólica que no sea uno a uno, uno debe restringir el dominio donde la función dada es uno a uno. Se demostró que este era el caso de arccosh (x) y arcsech (x) .
Dado que las inversas son funciones uno a uno, tienen que ser diferenciables en sus dominios. Para obtener la derivada de una función hiperbólica inversa , se debe reformular la función en términos de la función logarítmica natural y luego realizar una diferenciación logarítmica.
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