Apartamento de Fred
¿Depende el tamaño del apartamento de Fred de la frecuencia con la que cena en restaurantes de comida rápida? Lógicamente, estos hechos no están relacionados. Sin embargo, como mostraremos en esta lección, el tamaño del apartamento y la accesibilidad a la comida rápida están vinculados. Esto nos lleva al concepto de funciones vectoriales.
En esta lección definimos y graficamos funciones vectoriales.
La dependencia funcional de las variables
Las propias variables pueden ser funciones de alguna otra variable. A esta otra variable la llamamos parámetro . Volviendo a Fred, se da cuenta de que cuanto más se aleja del centro de la ciudad, es menos probable que vea un restaurante de comida rápida.
Hipotéticamente, el número de lugares de comida rápida por milla cuadrada, F , es una función inversa de la distancia desde el centro de la ciudad, D . Esta D es el parámetro en nuestro ejemplo (y debe ser> 0). Por ejemplo, si estamos a una milla del centro de Fredville, EE. UU., F = 5 / D = 5/1 = 5. Lo que significa que hay 5 restaurantes de comida rápida por milla cuadrada.
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Fred también ha descubierto que un precio dado compra más pies cuadrados cuando se encuentra más lejos del centro de la ciudad. Si los pies cuadrados del apartamento son A , entonces A = 100 D 2 (además, D > 0).
Por ejemplo, para D = 5 millas: A = 100 D 2 = 100 (5) 2 = 2500 pies cuadrados.
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Tabular valores para F y A cuando D cambia de 1 a 5. Comenzamos con D = 1 y obtenemos F = 5 / D = 5/1 = 5 y A = 100 D 2 = 100 (1) 2 = 100.
Graficar este punto en una gráfica de A vs F produce este resultado:
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Tabulación de más valores:
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En lugar de graficar los puntos de esta tabla, podemos eliminar la variable D de ambas ecuaciones.
- De F = 5 / D obtenemos D = 5 / F ‘.’
Luego, sustituya D en la segunda ecuación.
- A = 100 D 2 = 100 (5 / F ) 2
Finalmente, simplifica.
- A = 2500 / F 2
Graficar esta ecuación junto con los datos de la tabla da como resultado:
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Puede ser conveniente eliminar D y simplemente mostrar cómo Una depende de F , pero que pierde la idea del parámetro D . No tiene sentido que Fred diga que el tamaño de un apartamento depende de la cantidad de lugares de comida rápida por milla cuadrada. El parámetro es el enlace y nos da la trayectoria (la ruta) de la función.
Esta trayectoria es la historia detrás de una función vectorial .
Escribir la función vectorial
Una forma de escribir una función vectorial, r ( D ), es usar corchetes angulares:
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El parámetro t para el tiempo
Las funciones vectoriales suelen tener tiempo, t , como parámetro. Grafiquemos algunos ejemplos.
Ejemplo 1: r (t) = <√ t , 1 / t >
Paso 1: verifica los dominios
Para evitar sacar la raíz cuadrada de un número negativo, t ≥ 0. Sin embargo, para 1 / t también queremos evitar dividir por cero. Entonces, t > 0.
Paso 2: determinar la trayectoria
La forma más sencilla de determinar la trayectoria es sustituir t por algunos valores . Para t = 1, √ t = √1 = 1 y 1 / t = 1/1 = 1. Por lo tanto, el punto (1, 1) en el gráfico. ¿Qué pasa con un tiempo posterior, como t = 4? Bueno, √ t = √4 = 2 y 1 / t = 1/4 = .25. Por lo tanto, el punto (2, .25) también está en la gráfica y los dos puntos muestran una t creciente .
Paso 3: Eliminar t para obtener una ecuación en x y y
x es la primera parte de la función vectorial e y es la segunda. Entonces, x = √ t y y = 1 / t .
De y = 1 / t podemos escribir t = 1 / y
Sustituye 1 / y por t en: x = √ t = √ (1 / y )
Cuadrar ambos lados: x 2 = 1 / y
Haga de y el sujeto: y = 1 / x 2
(Nota: el dominio de t nos restringe solo a valores de x > 0).
Paso 4: Grafica y muestra la trayectoria de la trayectoria para aumentar t .
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Ejemplo 2: r (t) = <sin (t), cos (t)>
Paso 1: verifica los dominios
Tanto el seno como el coseno son válidos para todos los valores de t .
Paso 2: determinar la trayectoria
En t = 0, x = sin ( t ) = sin (0) = 0 y y = cos ( t ) = cos (0) = 1. Por lo tanto, el punto (0, 1) es la ubicación de esta función en t = 0.
En t = π / 2, x = sin (π / 2) = 1 e y = cos (π / 2) = 0. Por lo tanto, la función se mueve en el sentido de las agujas del reloj en el plano x – y .
Paso 3: Eliminar t para obtener una ecuación en x y y
Podríamos seguir sustituyendo valores por ty trazar la curva o podemos eliminar t .
r 2 = x 2 + y 2 (de la definición de la magnitud de un vector)
Entonces, r 2 = sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1 (de una identidad de trigonometría)
Por lo tanto, r = 1 que es un círculo de radio 1 centrado en el origen.
Paso 4: Grafica y muestra la trayectoria de la trayectoria para aumentar t .
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Ejemplo 3: r (t) = <sin ( t ), cos ( t ), t >
Añadiendo una tercera dimensión al ejemplo anterior, a medida que aumenta t , aumenta el valor z . A medida que la punta del vector traza un círculo en el plano x – y , lo «arrastramos» a lo largo del eje z . El resultado es la curva » similar a un resorte » llamada hélice:
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Ahora que Fred comprende cómo las relaciones de función vectorial vinculan el tamaño de su apartamento con la comida rápida, su objetivo es hacer menos matemáticas viviendo directamente dentro de Wendy’s.
Resumen de la lección
Cuando las variables dependen de una variable externa llamada parámetro , la información puede expresarse como una función vectorial . Esto está estrechamente relacionado con la idea de ecuaciones paramétricas . Sin embargo, al graficar funciones vectoriales, podemos mostrar la ruta de la función vectorial a medida que aumenta el parámetro. Este camino se llama trayectoria de la función vectorial.
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