Rodrigo Ricardo

Graficar ecuaciones de valor absoluto: dilataciones y reflexiones

Publicado el 18 septiembre, 2020

Traducción

Comenzaremos esta lección recordando que los gráficos de valor absoluto se ven como la guitarra más genial que existe, la Flying V. Además, podemos deslizar estos gráficos por todas partes haciendo la transformación que se llama traducción .


La gráfica de y = (1/3) | x |
tiene una dilatación amplia
Gráfico de dilatación

Por ejemplo, tomando nuestro gráfico padre y = | x | y cambiándolo a y = | x-2 | +3 , la V se traslada dos a la derecha y tres hacia arriba de modo que terminamos con nuestro vértice en las coordenadas (2, 3). Además, recuerde que el desplazamiento a la izquierda y a la derecha hace lo contrario de lo que esperaría. Entonces, un -2 en el interior del valor absoluto lo desplaza hacia la derecha porque necesito poner un +2 para que x convierta la parte del valor absoluto en 0, que es donde va a estar mi vértice.

Gráficos de valor absoluto con dilataciones

Este no es el único tipo de transformación que vemos a menudo con gráficos de valor absoluto. El segundo más común se llama dilatación (o estiramiento o encogimiento). En los gráficos de valor absoluto, una dilatación hace que la V sea más ancha o más delgada. Logramos esto colocando un valor delante del valor absoluto (por ejemplo, y = 2 | x | o y = 1/3 | x | ). Al igual que la m en y = mx + b , este valor nos dice la nueva pendiente de las líneas en nuestra V. Lo que significa que y = 2 | x | comenzará en el origen (porque no se sumará ni se restará nada en el interior o el exterior), pero luego subirá dos y más uno en cada paso del camino. Esto significa que va a ser una V más pronunciada que la normal. Si lo hiciéramosy = (1/3) | x | , solo subiríamos uno y más de tres en cada paso del camino (y en ambas direcciones). Eso significa que esta V va a ser más ancha que todas las demás que hemos visto.

Gráficos de valor absoluto con reflejos

Entonces, la pregunta es: ¿qué sucede cuando ponemos un número negativo delante del valor absoluto (digamos, y = -4 | x | )? Bueno, dado que -4 está directamente delante del valor absoluto, lo que significa multiplicación. Y, debido a que el valor absoluto siempre será positivo sin importar lo que sustituyamos por x , (no multiplicamos el positivo por un negativo, porque nos da un número negativo) todos nuestros valores de y serán negativos. Entonces, ahora, en lugar de que todo nuestro gráfico esté por encima del eje x, estará completamente debajo de él. A este tipo de transformación la llamamos reflexión porque la gráfica de y = | x | se refleja (como un espejo) sobre el eje x para terminar con y = – | x | .


Ejemplo de transformación de reflexión usando y = – (5/2) | x |
Gráfico de reflexión

Volviendo rápidamente al ejemplo mencionado hace un segundo, graficando y = -4 | x | es tan simple como comenzar en el origen (porque no se suman ni restan números en el interior ni en el exterior), bajar cuatro y luego uno en cada dirección para averiguar qué tan empinada o delgada es la gráfica. Nuevamente, ya sea positivo o negativo, el número al frente solo actúa como la pendiente, por lo que baja cuatro sobre uno cuando es negativo. También podríamos hacer y = – (5/2) | x | . Comenzamos en el origen nuevamente y bajamos cinco y más dos en ambas direcciones para averiguar qué tan delgado o ancho es nuestro gráfico.

Forma estándar de ecuaciones de valor absoluto

Cuando combinamos traslaciones, dilataciones y reflexiones en una, terminamos con la ecuación de valor absoluto en forma estándar, que es y = a | xh | + k . La a nos dice la pendiente, h nos dice cuánto desplazar la gráfica hacia la izquierda y hacia la derecha, y k nos dice cuánto desplazar la gráfica hacia arriba y hacia abajo.

Usando esta ecuación, podemos graficar cosas como y = -2 | x-1 | +3 . Comenzamos por encontrar nuestro vértice y pasamos uno a la derecha y subimos tres. A continuación, utilizamos el un valor de -2 (la pendiente), que nos dice que bajar dos y más de uno de los dos sentidos, y nos encontramos con este gráfico. También podríamos hacer y = (3/2) | x | -5 . Una vez más, empezamos por encontrar h y k . No se agrega ni se resta nada de la x , como si hubiera un más 0, por lo que no lo desplazamos de izquierda a derecha en absoluto. Bajamos cinco para encontrar el vértice en las coordenadas (0, -5), luego uso el avalor como la pendiente. Como es positivo, subimos tres y luego dos en ambas direcciones para encontrar la gráfica.

Resumen de la lección


Gráfica de y = -2 | x-1 | +3
Gráfico de ecuación de valor absoluto

Para revisar, las traslaciones deslizan el gráfico alrededor del plano de coordenadas sin cambiar su tamaño. Las dilataciones hacen que el gráfico sea más ancho o más delgado. Los reflejos dan la vuelta al gráfico como un espejo. En la ecuación de forma valor absoluto estándar, y = a | xh | + k , h y k nos dan las coordenadas del vértice, mientras que una nos dice la pendiente de la V. Por último, un negativo un valor hace que la V de la absoluta valor apunta hacia abajo en lugar de cómo apunta normalmente hacia arriba.

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