Rodrigo Ricardo

Graficar funciones racionales que tienen polinomios de varios grados: pasos y ejemplos

Publicado el 22 noviembre, 2020

Funciones racionales

Las funciones racionales se pueden describir como fracciones compuestas por funciones polinomiales. Un polinomio es una expresión formada por variables con sus coeficientes separados por suma o resta. Si tuviéramos dos funciones polinomiales que hemos etiquetado como f (x) y g (x) , entonces nuestra función racional se puede escribir como f (x) / g (x) . Como ejemplo, si mi f (x) es igual a 5 x + 1 y mi g (x) es igual a x ^ 2 + 3 x , entonces mi función racional será (5 x + 1) / ( x ^ 2 + 3 x ) .


Una función racional.
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Parece aterrador, ¿no? Sin embargo, no se preocupe, graficar estas funciones racionales no es tan malo.

Lo que necesita graficar

Solo hay algunas cosas que necesita encontrar para graficarlas, que incluyen las asíntotas verticales, las asíntotas horizontales y los puntos para graficar. Una asíntota vertical es un valor de x que invalida nuestra función. En otras palabras, es el valor x el que produce un error en nuestra función cuando intentamos evaluar nuestra función en ese valor. Nuestra función y gráfica nunca serán este valor x .

Una asíntota horizontal es el valor de y al que se aproxima la gráfica cuando los valores de x se vuelven muy grandes y muy pequeños. En otras palabras, la asíntota horizontal es el valor que ve el gráfico acercándose al extremo izquierdo del gráfico y al extremo derecho del gráfico.

Encontrar las asíntotas

Para encontrar las asíntotas verticales de nuestra función racional, simplemente igualamos nuestro denominador a 0 y resolvemos. ¿Por qué hacemos esto? Si nuestra asíntota vertical es el valor de x que nuestra gráfica no puede tener, entonces nuestra mejor manera de averiguar estos valores es igualar el denominador a 0 porque es en esos valores que la función no es válida. No podemos dividir entre 0, por lo que al encontrar los valores de x cuando nuestro denominador es igual a 0, encontramos esos valores de x que la función no puede tener.

Usemos la función racional con la que comenzamos y encontremos sus asíntotas verticales. Igualamos el denominador a 0:
x ^ 2 + 3 x = 0

Resolvemos x usando álgebra. Nuestro denominador es cuadrático, entonces usaremos la factorización para resolver:
x ( x + 3) = 0

Igualamos ambos factores a 0 y resolvemos para cada uno.
x = 0 y x + 3 = 0

Tenemos dos valores de x aquí, de hecho. Tenemos x = 0 y tenemos x = -3. Estas son nuestras dos asíntotas verticales.

Podemos empezar a graficar nuestros datos dibujando líneas punteadas para representar nuestras asíntotas verticales en x = 0 y x = -3.


Asíntotas verticales.
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A continuación, necesitamos encontrar nuestras asíntotas horizontales. Para hacer esto, comparamos el primer término de nuestro numerador con el primer término de nuestro denominador. Lo que buscamos es el exponente de este término. Hay tres escenarios que buscaremos para ayudarnos a encontrar nuestra asíntota horizontal.

El primer escenario es cuando el exponente del numerador es mayor que el exponente del denominador. Cuando esto sucede, los Y los valores de la gráfica se destinarán a cualquiera infinito positivo o infinito negativo como el x valor se hace muy grande y muy pequeño. Al observar nuestra función racional, vemos que este no es nuestro caso, así que veamos el segundo caso.

El segundo caso es cuando el exponente del primer término del numerador es el mismo que el exponente del primer término en el denominador. Cuando este es el caso, encontramos la asíntota horizontal dividiendo el coeficiente del primer término del numerador por el coeficiente del primer término del denominador. Por ejemplo, si nuestra función racional es (5 x + 1) / (3 x + 2), entonces nuestra asíntota horizontal es y = 5/3. ¿Es este nuestro caso? Mirando nuestra función nuevamente, vemos que este tampoco es nuestro caso. Así que pasamos a analizar el tercer escenario.

El tercer escenario es cuando el exponente del primer término en el numerador es menor que el exponente del primer término en el denominador. Cuando esto sucede, nuestra asíntota horizontal es la línea y = 0. Mirando nuestra función, podemos ver que sí, este es nuestro caso. Eso significa que tenemos una asíntota horizontal en y = 0. También podemos marcar esto con una línea discontinua. Recordamos que si bien nunca está bien que nuestra gráfica cruce una asíntota vertical, está perfectamente bien que la gráfica cruce una asíntota horizontal.


Asíntotas horizontales.
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¿Cómo puedes recordar estos? Imagínese una fracción mala con dientes grandes que se enoja cuando toca sus cosquillas o sus asíntotas verticales. ¿Cuándo es la fracción delicada? Es delicado cuando el denominador es 0. Luego imagina al monstruo de la fracción corriendo hacia un trozo de pastel. Esta es la asíntota horizontal, o el comportamiento cuando el monstruo de la fracción se aleja cada vez más. La asíntota horizontal está determinada por el primer término del numerador y denominador o de qué está hecho el monstruo.

Encontrar puntos

¡Excelente! Ahora que tenemos nuestras asíntotas abajo, sigamos adelante y grafiquemos algunos puntos. En primer lugar, nos encontramos con nuestras x e Y intercepta, o donde la gráfica cruza el x eje x y y eje x. Para encontrar dónde la gráfica cruza el eje x , establecemos y igual a 0 y resolvemos para x . Entonces tenemos 0 = (5 x + 1) / ( x ^ 2 + 3 x ).

Para obtener x por sí mismo, comenzamos multiplicando ambos lados por el denominador para obtener 0 = 5 x + 1. Luego restamos 1 de ambos lados para obtener -1 = 5 x . Luego dividimos entre 5 a ambos lados para encontrar que nuestra x intersección es x = -1/5. Así que seguimos adelante y trazamos un punto allí.


Las intersecciones.
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A continuación, encontramos nuestra intersección en y estableciendo x igual a 0 y resolviendo para y . Pero espere, no podemos tener x = 0 porque esa es una de nuestras asíntotas verticales. ¿Qué significa esto? Significa que no tenemos una intersección y . Bien, tomamos nota de esto; nuestro gráfico no tocará la línea x = 0.

Ahora, tracemos algunos puntos. Estoy eligiendo algunos valores de x entre 0 y 3, así como algunos números por encima de 0 y por debajo de -3. Voy a hacer una tabla con mis puntos. Lo que estoy haciendo es conectar mi xy calcular el valor de y .

X y
-10 -0.700
-7 -1,214
-5 -2,4
-4 -4.750
-3,5 -9.428
-2,5 9.200
-2 4.5
-1 2.000
-0,5 1.2
0,5 2,00
1 1,5
3 0.8889
5 0,65
10 0.3923

Los puntos que elegí estaban cerca de mis asíntotas verticales y luego más lejos para ver qué sucede con el gráfico a medida que se aleja. Puedo trazar todos estos puntos en mi gráfico para ver qué tipo de comportamiento obtengo.


Los puntos.
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Mmm, estos puntos parecen interesantes. Veo que el gráfico se curva a medida que se acerca a cada asíntota. Veo que el gráfico tiene tres partes. Uno en el lado izquierdo de x = -3, uno entre x = -3 y x = 0, y uno a la derecha de x = 0. Recuerdo que la gráfica no tocará ninguna de las asíntotas, lo que significa que las curvas de la gráfica hacia arriba o hacia abajo según la dirección del gráfico a medida que se acerca a la asíntota. Conecto los puntos, teniendo todo esto en cuenta.


La gráfica.
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¡Hemos terminado! Hemos representado gráficamente nuestra función racional. Vemos que nuestra gráfica puede tener más de una parte dependiendo de cuántas asíntotas verticales tenga. Vemos que cada asíntota vertical divide nuestro gráfico. Entonces, en general, graficar nuestra función racional no estuvo mal.

Resumen de la lección

Aprendimos que las funciones racionales pueden describirse como fracciones compuestas por funciones polinomiales. Para graficarlas, primero encontramos las asíntotas verticales estableciendo nuestro denominador igual a 0 y resolviendo para x . Luego encontramos nuestras asíntotas horizontales estableciendo y igual a 0 y resolviendo para x .

Sabemos que la gráfica nunca puede tocar una asíntota vertical, pero la gráfica puede tocar una asíntota horizontal.

Después de encontrar las asíntotas, encontramos algunos puntos. Vemos si podemos encontrar las X y Y intercepta mediante el establecimiento y a continuación, x igual a 0, respectivamente.

Luego calculamos algunos puntos lo más cerca posible de las asíntotas y luego más lejos de ellas para ver qué tipo de comportamiento tiene el gráfico. Luego conectamos los puntos para terminar de graficar la función racional.

Los resultados del aprendizaje

Después de estudiar esta lección, debería tener las capacidades necesarias para:

  • Grafica una función racional identificando las asíntotas vertical y horizontal
  • Recuerde que el proceso de encontrar X y Y intercepta
  • Trazar puntos

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