Graficar funciones racionales que tienen polinomios lineales: Pasos y ejemplos
Funciones racionales con polinomios lineales
La frase ‘funciones racionales con polinomios lineales’ es un bocado, eso es seguro. Pero no se preocupe, no es tan malo como parece. Si dividimos la frase en sus partes, veremos que no está tan mal. Primero, las funciones racionales son simplemente fracciones de funciones polinomiales. Un polinomio lineal es un polinomio cuyo exponente más alto es 1. Entonces, una función racional con polinomios lineales es una fracción de dos polinomios cuyo grado más alto es 1. Los polinomios son aquellas expresiones que combinan términos que consisten en variables y sus coeficientes con más y menos.
Un ejemplo de función racional con polinomio lineal es la función f (x) = (x) / (x + 1) . Mira el numerador y el denominador, y vemos que ambos son polinomios lineales. Tanto el numerador como el denominador constan de funciones cuyo exponente más alto es 1. Un atajo para identificar este tipo de función es simplemente mirar la x . Si tanto el numerador como el denominador tienen una x sin exponente, entonces estás viendo una función racional con polinomios lineales. Este es el tipo de función que graficaremos en esta lección.
Asíntotas
El primer paso para graficar estas funciones es buscar asíntotas. Necesitamos buscar asíntotas verticales , los valores de x que invalidan la función, y asíntotas horizontales , el valor de y que alcanza el gráfico en el extremo izquierdo y derecho del gráfico.
Para encontrar nuestras asíntotas verticales, debemos preguntarnos, ¿qué situación invalidará nuestra función? En otras palabras, ¿qué situación hace que la función produzca un error? Pensemos en esto. Nuestra función es esencialmente una fracción. ¿Qué sabemos de las fracciones? ¿Cuál es el número por el que nunca podemos dividir? Es 0. Eso nos dice que si nuestro denominador es igual a 0, entonces nuestra función producirá un error.
Entonces, ¿a qué valor x nuestro denominador es igual a 0? ¿Cómo podemos resolver eso? Encontramos este valor estableciendo el denominador igual a 0. Nuestra función es f (x) = (x) / (x + 1) , y nuestro denominador es x + 1. Estableciendo esto igual a 0, obtenemos x + 1 = 0. Resuelva esto restando 1 de ambos lados, obtenemos x = -1. Entonces, nuestra asíntota vertical es la línea vertical en x = -1. Podemos dibujar esto en nuestro gráfico con una línea discontinua en x = -1.
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Lo siguiente que buscamos es nuestra asíntota horizontal. Para encontrar nuestra asíntota horizontal, todo lo que tenemos que hacer es mirar nuestros coeficientes junto a nuestra variable x . En nuestro caso, los coeficientes son 1 para el numerador y 1 para el denominador. Eso significa que nuestra asíntota horizontal es y = 1/1 = 1.
Sí, la asíntota horizontal es simplemente la fracción de los coeficientes. ¿Cómo puedes recordar esto? Piense en el significado de la asíntota horizontal. Es el comportamiento del gráfico en el extremo izquierdo y el extremo derecho del gráfico. Aquí es donde nuestros valores de x son grandes. Cuando nuestra x es grande, lo que sumemos o restemos no hará mucha diferencia, por lo que podemos ignorar esos números. Entonces, dado que tanto el numerador como el denominador tienen la misma x , podemos cancelarlos. Entonces, ¿qué nos queda? Nos quedamos con los coeficientes.
Para nuestra función f (x) = (x) / (x + 1) , para encontrar la asíntota horizontal, ignoramos el + 1 en la parte inferior, lo que nos deja con y = x / x . Tenemos la misma x en la parte superior e inferior, lo que nos dice que podemos cancelarlos. Esto nos deja solo con los coeficientes y = 1/1. Podemos dibujar nuestra asíntota horizontal y = 1 usando también una línea discontinua.
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Ahora que hemos dibujado nuestras asíntotas, vemos que separa nuestra gráfica en cuatro áreas. Una cosa a tener en cuenta es que el gráfico nunca tocará ni cruzará la asíntota vertical. ¡Entonces verás que el gráfico evita esta línea como la plaga! La asíntota horizontal, por otro lado, es como la miel y atrae el gráfico. Verá que el gráfico se acerca cada vez más a esta línea.
Puntos
Para saber exactamente cómo se verá nuestro gráfico, vamos a trazar algunos puntos a ambos lados de la asíntota vertical y también más lejos. Para calcular estos puntos, conectamos algunos valores de x y luego los evaluamos para encontrar nuestra y . Los escribiremos en forma de tabla para que cuando terminemos, podamos trazarlos fácilmente en el gráfico.
Los valores de x que voy a usar son -10, -5, -3, -2, -1.5, -0.5, 0, 1, 5 y 10. Para encontrar nuestra y cuando x es -10, conecto my -10 en mi fracción y obtén y = -10 / (-10 + 1). Al evaluar esto, obtengo y = -10 / -9 = 1.11. Entonces nuestro primer punto es (-10, 1.11). Continúo este proceso por el resto de mis puntos hasta que mi mesa esté llena.
X | y |
---|---|
-10 | 1,11 |
-5 | 1,25 |
-3 | 1,5 |
-2 | 2 |
-1,5 | 3 |
-0,5 | -1 |
0 | 0 |
1 | 0,5 |
5 | 0,83 |
10 | 0,9 |
Al trazarlos en el gráfico, empiezo a ver las curvas de mi gráfico.
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La gráfica
El último paso es conectar los puntos. Sin embargo, tengo que tener en cuenta las asíntotas. Veo que el gráfico se curva hacia arriba cuando se acerca a la asíntota vertical desde la izquierda y se curva hacia abajo cuando se acerca a la asíntota vertical desde la derecha. Sé que el gráfico no puede tocar ni cruzar esta asíntota vertical, esta línea ‘plagada’, por lo que eso significa que tengo que dibujar mi gráfico curvando y hacia arriba y hacia abajo, pero nunca tocando esta línea.
Para mi asíntota horizontal, sé que mi gráfico se acerca cada vez más a esta línea ‘dulce como la miel’ a medida que avanza, así que voy a dibujar la línea muy cerca de la asíntota horizontal, pero sin tocarla tampoco. Tomando todo esto en consideración, dibujo mi gráfico y veo que consta de dos curvas.
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Obtuve mis asíntotas, mis puntos y ahora mi gráfica. ¡Así que he terminado!
Resumen de la lección
¿Qué aprendimos? Aprendimos que una función racional es la fracción de dos funciones polinomiales y que un polinomio lineal es un polinomio cuyo grado más alto es 1. Aprendimos que un atajo para identificar funciones racionales con polinomios lineales es simplemente buscar una x sin exponente en tanto el numerador como el denominador de la función. La función solo puede tener una x en la parte superior y una x en la parte inferior.
Para graficar estas funciones, buscamos la asíntota vertical , el valor de x que invalida la función, estableciendo el denominador igual a 0 y resolviendo. También buscamos la asíntota horizontal , el valor y al que llega la gráfica cuando el valor x se vuelve muy grande y muy pequeño. Para encontrar la asíntota horizontal, simplificamos nuestra función a solo los coeficientes de nuestra variable x . Graficamos ambas asíntotas usando líneas discontinuas. Luego trazamos algunos puntos cerca de la asíntota vertical en ambos lados y algunos más alejados. Conectamos los puntos, recordando que la gráfica no puede tocar ni cruzar la asíntota vertical, pero sí alcanza la asíntota horizontal.
Los resultados del aprendizaje
El estudio de los detalles de esta lección podría prepararlo para:
- Determinar si una ecuación es una función racional con un polinomio lineal
- Proporcionar la definición de asíntota horizontal.
- Calcular las asíntotas verticales y horizontales de una función racional
- Trazar puntos en el gráfico
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