Graficar raíces cuadradas de funciones

Definición básica de la función raíz cuadrada

Una función de raíz cuadrada es una función que tiene el radical (signo de raíz cuadrada) y la cantidad independiente x es el radicando (valor bajo el signo de raíz cuadrada). La función raíz cuadrada en su forma básica tiene la siguiente ecuación:

Sin embargo, para comprender verdaderamente el comportamiento de una función de raíz cuadrada, veamos la función lineal básica:

f (x) = x

Gráfico de una función lineal básica

Según la ecuación, cada valor de y (la cantidad dependiente) será exactamente igual que la cantidad independiente, el valor de x . En otras palabras, lo que elija para x generará el mismo valor para y .

Ahora, si cambiamos la ecuación tomando la raíz cuadrada del lado derecho, la función se convertiría en la función raíz cuadrada básica. Sin embargo, podría preguntar, ¿qué es sacar la raíz cuadrada? Cuando elevamos un número al cuadrado, en realidad solo lo multiplicamos por sí mismo.

La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar un número al cuadrado. En otras palabras, estamos tratando de encontrar un factor que se multiplicó por sí mismo para dar como resultado su valor original.

¡Veamos la función raíz cuadrada ahora que tenemos todos los conceptos básicos!

Gráfica de una función de raíz cuadrada básica

Como esperábamos, el cambio en la ecuación resultó en el cambio de los valores en la tabla y el comportamiento del gráfico. Lo primero que debemos notar es el mensaje indefinido en la tabla de valores. Dependiendo de la calculadora que esté usando para graficarlo, es posible que vea un error en su lugar. El valor indefinido proviene de la operación de enraizar al cuadrado un número negativo. ¡No existe un número negativo que pueda multiplicarse por sí mismo y dar como resultado un número negativo! Solo un número positivo puede ser el resultado de dos negativos. A continuación, se muestran algunos ejemplos de esta operación:

Es por eso que en la tabla de valores solo vemos la raíz cuadrada de los valores x positivos , lo que da como resultado los valores y positivos . Cuando volvemos a mirar el gráfico, vemos ese punto inicial distinto, donde es posible enraizar un número al cuadrado, en este caso cero.

Dominio y rango de la función raíz cuadrada

El dominio es el conjunto de todos los valores x independientes para los que existe o está definida la función f (x).

El rango es el conjunto de todos los valores dependientes de y que resultarán de sustituir todos los valores de x (dominio) en la función.

En una función de raíz cuadrada, tanto el dominio como el rango están restringidos en función del concepto de que solo podemos cuadrar los números positivos de raíz.

Gráfica de una función de raíz cuadrada básica

Veamos un ejemplo diferente de dominio y rango usando la función raíz cuadrada.

Gráfico de una función de raíz cuadrada transformada

El gráfico se ha cambiado y también los valores. Observe cómo cero ya no es un valor x válido para esta función.

Tanto el dominio como el rango se verán afectados por los cambios aplicados a la función raíz cuadrada básica. Como puede ver en la tabla y el gráfico, el valor de x más pequeño es 2 y el valor de y más pequeño es 3.

Graficar transformaciones básicas de la función raíz cuadrada

Traducción horizontal

La traslación horizontal es un desplazamiento del gráfico y todos sus valores hacia la izquierda o hacia la derecha. El cambio ocurrirá si sumamos o restamos un número de x bajo el signo del radical.

Traslación horizontal de la función de raíz cuadrada a la derecha

¡La g (x) se ha desplazado 2 unidades hacia la derecha, no hacia la izquierda! En lugar de los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 1.41) en el gráfico f (x), tenemos (2, 0), (3, 1) y (4, 1.41) en el gráfico g (x). Observe cómo todos los valores de x se incrementaron en 2, mientras que y permaneció igual. Entonces, esencialmente, si el número se resta de x en la ecuación, la gráfica y todos los valores de x , muévete hacia la derecha.

Veámoslo en otro ejemplo:

¿Qué puedes predecir sobre el comportamiento de esta función de raíz cuadrada? ¿Crees que h (x) trasladará 4 unidades hacia la izquierda o hacia la derecha?

Traslación horizontal de la función de raíz cuadrada a la izquierda

Si dijiste que la gráfica de h (x) se desplazará 4 unidades hacia la izquierda, ¡estabas en lo correcto! Esto se debe a que el número negativo agregado a la x en la ecuación hizo que la gráfica y todos los valores de x se desplazaran hacia la izquierda.

Traducción vertical

La traslación vertical está desplazando un gráfico hacia arriba o hacia abajo en el plano de coordenadas. La traslación vertical ocurre cuando sumamos o restamos un número fuera de la función, en nuestro caso, fuera del signo de la raíz cuadrada.

Veamos el siguiente cambio en la ecuación.

Sumamos 4, como en el ejemplo de g (x), pero hay una gran diferencia en el lugar donde realizamos esa suma. Ya no está debajo del signo de la raíz cuadrada, está afuera. En este caso, los valores de y se verán afectados por esta transformación. Si usa una calculadora para calcular la traslación vertical de ‘x’, determine la raíz cuadrada, luego agregue el número 4. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 1 es 1 y 1 + 4 = 5.

Traslación vertical de la función de raíz cuadrada hacia arriba

Sumar o restar un número fuera del signo de la raíz cuadrada trasladará la gráfica verticalmente, moverá todos los valores de y de acuerdo con la operación algebraica indicada por su valor. Si sumamos 4, la gráfica se desplaza hacia arriba, si restamos 4 de la ecuación, la gráfica se trasladará 4 unidades hacia abajo. Lógico, ¿verdad?

Traslación vertical de la función de raíz cuadrada hacia abajo

Si el gráfico se traslada verticalmente, el rango cambiará con ese cambio. El dominio, todos los valores de x , permanecerá igual que el de la función raíz cuadrada básica.

Reflexiones de la función raíz cuadrada

Hay dos tipos principales de reflejos cuando se trata de gráficos, y son verticales y horizontales.

La reflexión vertical es una reflexión del gráfico sobre el eje x . Obtenemos la reflexión vertical multiplicando la función por -1.

Reflexión vertical de la función de raíz cuadrada sobre el eje x

Como puede ver, los valores de y se volvieron negativos, porque multiplicamos la función por -1. Observe que los valores de x no se ven afectados, son los mismos en j (x) que en f (x). Por lo tanto, el dominio es de cero a infinito, mientras que el rango es de infinito negativo a cero.

La reflexión horizontal es una reflexión a través del eje y . Obtenemos la reflexión horizontal multiplicando el valor de x por -1.

Reflexión horizontal de la función de raíz cuadrada sobre el eje y

Debido a que multiplicamos la entrada de la función por -1, todos los valores de x se volvieron negativos, mientras que la y permaneció igual. Entonces, el dominio es de infinito negativo a cero y el rango es de cero a infinito.

Resumen de la lección

1. La función raíz cuadrada básica toma la raíz cuadrada de una cantidad independiente.

2. El dominio y el rango de una función de raíz cuadrada básica están restringidos porque la raíz cuadrada de un número negativo no existe. Tanto el dominio como el rango de la función básica son de cero a infinito.

3. La traslación horizontal ocurre cuando sumamos o restamos un número debajo del signo de la raíz cuadrada. La operación desplaza el gráfico horizontalmente a la dirección opuesta al signo del número.

4. La traslación vertical ocurre cuando sumamos o restamos un número fuera del signo de la raíz cuadrada. La operación desplaza el gráfico verticalmente según el signo del número.

5. La reflexión horizontal refleja la gráfica a través del eje y, y ocurre cuando multiplicamos la x debajo del signo de la raíz cuadrada por -1.

6. La reflexión vertical refleja la gráfica a través del eje x , y ocurre cuando multiplicamos la función fuera del signo de la raíz cuadrada por -1.

7. El dominio y el rango se ven afectados por las transformaciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador