Graficar un sistema de desigualdades cuadráticas: ejemplos y proceso

Una desigualdad cuadrática

Primero, ¿qué es una desigualdad cuadrática? Bueno, la palabra cuadrática nos dice que tendremos un término x ^ 2 y que 2 será nuestro máximo exponente. Es posible que tengamos un término x así como un término constante, pero estos no son necesarios para las cuadráticas. La desigualdad nos dice que estamos tratando con una función que puede no ser exactamente igual. Entonces estamos tratando con mayor que, menor que, etc.

Entonces podemos definir una desigualdad cuadrática como una función de una cuadrática que puede no ser exactamente igual. Sabemos que una ecuación cuadrática se parece a y = ax ^ 2 + bx + c . Nuestra desigualdad cuadrática se ve muy similar excepto que no tenemos un signo igual. En lugar de un signo igual, tendremos un símbolo mayor que, menor que, mayor o igual que, o menor o igual que.

Desigualdades cuadráticas.

He escrito estas en forma estándar, donde un , b , y c representan números. Pero recuerde que para una cuadrática, el único término que debe estar ahí es el primer término x ^ 2. ¿Qué significa esto? Esto significa que mientras que b y c pueden ser 0, esencialmente eliminando esos términos, una debe haber un número y no puede ser 0. Si nos conectamos números aleatorios, podemos ver cómo una desigualdad cuadrática se verá.

Desigualdades cuadráticas.

Vemos que podemos tener un término, dos o los tres. Pero el único término que debe permanecer es el término x ^ 2.

Sistema de desigualdades cuadráticas

Si bien una desigualdad cuadrática es solo una de esas funciones, un sistema de desigualdades cuadráticas es una colección de funciones de desigualdad cuadrática consideradas como un conjunto. Lo que esto significa es que tendremos más de una desigualdad cuadrática, y cuando consideramos estas desigualdades, las consideramos como un todo. Cualquier solución a una función también debe ser una solución a las otras funciones del sistema.

Cuando solo tiene una función, una solución solo necesita satisfacer esa función, pero para un sistema, la solución debe satisfacer todas las funciones del sistema. En matemáticas, tenemos una notación especial para sistemas. Usamos un corchete grande delante del sistema como este:

Un sistema de desigualdades cuadráticas.

Graficar una desigualdad cuadrática

Una buena forma de ver las soluciones de un sistema de desigualdades cuadráticas es graficarlo. Graficar un sistema de desigualdades cuadráticas es muy similar a graficar una función cuadrática por sí misma. La única diferencia es que sombrearemos el área donde están las soluciones, y también la línea que dibujamos está determinada por el signo de desigualdad. Analicemos estas cosas graficando primero nuestra primera desigualdad cuadrática: y > x ^ 2.

Al igual que con otras cuadráticas, podemos introducir esta función en una calculadora gráfica o hacer una tabla con puntos para trazar. Lo que voy a hacer es hacer una tabla con puntos. Voy a elegir los valores de x y calcular los valores de y usando los valores de x . Los valores de x que voy a elegir son -2, -1, 0, 1 y 2. Para encontrar cada punto, introduzco mi valor de x dondequiera que vea una x y luego calculo para encontrar mi y . Entonces, el primer punto es y = (-2) ^ 2 = 4, lo que significa que mi punto es (-2, 4). Hago esto para cada punto para obtener una tabla completa.

Trazo estos puntos en un gráfico para obtener mi curva.

Puntos de mi primera desigualdad.

Para dibujar mi curva, necesito mirar el signo de desigualdad que tengo. Veo que tengo un símbolo mayor que, por lo que significa que mi línea estará discontinua. Al graficar desigualdades, si mi símbolo es mayor o menor que, entonces mi línea está discontinua. Si el símbolo es mayor o igual o menor o igual que, entonces mi línea será sólida. Trazo una línea discontinua para mi curva ya que mi símbolo es mayor que.

Además, como estamos tratando con desigualdades, sombrearemos una parte del gráfico. ¿Sombreo por encima o por debajo de la línea? Vamos a pensarlo. El signo es mayor que, lo que significa que necesito la parte cuyos valores de y son mayores que los valores de y de mi línea. Elijo un punto en la línea, cualquier punto para ver. Escojo el punto (1, 1). Me pregunto en qué dirección debo ir para obtener valores de y más grandes . Esta arriba. Necesito subir, eso significa que necesito sombrear la parte del gráfico que está por encima de la línea.

La gráfica de la primera desigualdad.

Terminé de graficar esta función. Ahora puedo pasar al resto.

Graficar el sistema de desigualdades cuadráticas

Debido a que estoy tratando con un sistema de desigualdades cuadráticas, graficaré todo en el mismo gráfico. Voy a hacer una tabla para los puntos de la segunda y tercera ecuación de mi sistema.

Para la segunda ecuación, y <= 2 x ^ 2 + 4, tengo esta tabla para los puntos.

Mi símbolo es menor o igual a, lo que significa que mi línea es sólida. Estoy sombreando la parte que está debajo de la línea porque estos son los valores y que son menores que mi línea.

La gráfica de la primera y segunda desigualdad.

He dibujado dos de mis desigualdades en el gráfico hasta ahora y veo que hay una parte del gráfico donde mi sombreado se superpone. Ésta es el área donde funcionan las soluciones para ambas desigualdades. ¿Qué pasará cuando dibuje la tercera desigualdad en la gráfica? Veamos. Voy a hacer una tabla para los puntos de mi tercera y última desigualdad.

Para la tercera desigualdad cuadrática, y <- x ^ 2 + 3 x + 5, mi tabla es la siguiente:

Debido a que estos puntos me llevan apenas más allá del punto donde se curva la gráfica, voy a agregar otro punto solo para ver cómo se curva la curva.

Mi símbolo es menor que, por lo que mi línea está discontinua y sombreo la parte que está debajo de mi línea.

La gráfica de las tres desigualdades.

La solución para mi sistema es el área donde todo mi sombreado se superpone. Por lo tanto, es el área que está por encima de la línea discontinua roja, debajo de la línea azul sólida y debajo de la línea verde discontinua. Todos mis valores dentro de esta región son soluciones para mi sistema.

El área de la solución.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que una desigualdad cuadrática es una función de una cuadrática que puede no ser exactamente igual. Un sistema de desigualdades cuadráticas es una colección de funciones de desigualdad cuadráticas consideradas como un conjunto. Para anotar matemáticamente un sistema, usamos un corchete grande delante de las funciones.

Para graficar mi sistema, trazo puntos para cada función por separado y grafica cada uno en el mismo gráfico. Utilizo una línea discontinua para las desigualdades que son mayores o menores que y una línea continua para las desigualdades que son mayores o iguales o menores o iguales que. Si mi desigualdad es mayor o mayor que o igual a, sombreo por encima de la línea. Si la desigualdad es menor o menor que o igual a, sombreo debajo de la línea. La solución a mi sistema es la parte del gráfico donde todo el sombreado se superpone.

Resultado de aprendizaje

Una vez que haya terminado esta lección, debería poder graficar una desigualdad cuadrática y un sistema de desigualdad cuadrática para encontrar el conjunto de soluciones del sistema.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador