Hallar el valor máximo de una función: práctica y descripción general

¿Qué es el valor máximo?

El valor máximo de una función es el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en un gráfico. Por ejemplo, en esta imagen, el valor máximo de la función es y es igual a 5.

Prácticamente, encontrar el valor máximo de una función se puede utilizar para determinar la ganancia máxima o el área máxima. Puede ser muy útil para administrar un negocio rentable o cualquier proyecto de arquitectura o construcción.

Cómo determinar el valor máximo

Hay tres métodos para determinar el valor máximo de una ecuación cuadrática. Cada uno de ellos se puede utilizar en su propio entorno único para determinar el máximo.

La primera forma es graficar . Puede encontrar el valor máximo visualmente graficando la ecuación y encontrando el punto máximo en la gráfica. Esto es especialmente fácil cuando tiene una calculadora gráfica que puede hacer el trabajo por usted. Nuevamente, usando este gráfico, puede ver que el punto máximo del gráfico está en y = 5.

La segunda forma de determinar el valor máximo es usando la ecuación y = ax 2 + bx + c .

Si su ecuación tiene la forma ax 2 + bx + c , puede encontrar el máximo usando la ecuación:

max = c – ( b 2 /4 una ).

El primer paso es determinar si su ecuación da un máximo o un mínimo. Esto se puede hacer mirando el término x 2 . Si este término es positivo, el punto de vértice será mínimo. Si es negativo, el vértice será un máximo.

Después de determinar que realmente tendrá un punto máximo, use la ecuación para encontrarlo. Por ejemplo, busquemos el punto máximo de:

-x 2 + 4 x – 2.

Dado que el término con x 2 es negativo, sabes que habrá un punto máximo. Para encontrarlo, inserte los valores en la ecuación:

max = c – ( b 2 /4 un )

Esto nos dará:

max = -2 – (4 2 /4 * (-1))

4 al cuadrado es 16 y 4 por -1 es -4. 16 dividido por -4 es -4. Y, -2 menos -4 se convierte en -2 más 4 porque dos negativos se vuelven positivos, por lo que terminamos con un valor máximo de 2.

Hay una forma más de determinar el valor máximo de una función, y es a partir de la ecuación:

y = a ( x – h ) 2 + k

Al igual que con la última ecuación, el un término en esta ecuación debe ser negativo para que haya un máximo. Si el un término es negativo, el máximo se puede encontrar en k . No se necesitan ecuaciones ni cálculos; la respuesta es solo k .

Por ejemplo, encontremos el máximo de la ecuación:

-3 ( x – 5) 2 – 7

Dado que el un término es -3, habrá un máximo a -7.

Ejemplos del mundo real

Ahora veamos algunos ejemplos de cómo esta información es útil en el mundo real.

Digamos que tiene un rollo de cerca de 250 pies y un campo grande. Quieres construir un área de juegos rectangular. ¿Cuál es el área máxima que podría tener su patio de recreo? Usa la ecuación:

y = – x 2 + 125 x

Debido a que el término a es negativo, sabemos que habrá un máximo para esta ecuación cuadrática. Para encontrar ese máximo, que es el área máxima, podemos usar la ecuación:

max = c – ( b 2 /4 un )

Conectando nuestros números, obtenemos max = 0 – ((125 2 ) / (4 * -1)), o max = -15625 / -4 que se convierte en max = 3906 pies 2 . Y esa será el área máxima de nuestro patio de recreo con 250 pies de cerca.

Veamos otro. La altura, h , en pies a la que un objeto está sobre el suelo viene dada por la ecuación h = -16 t 2 + 64 t + 190, donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima del objeto?

Uso de la equationmax = c – ( b 2 /4 una ), podemos encontrar la altura máxima.

Primero conectamos nuestros números para obtener max = 190 – ((64 2 ) / (4 * -16))

Luego elevamos al cuadrado 64 y multiplicamos el denominador para obtener max = 190 – (4096 / (-64)), que podemos simplificar a max = 190 + 64, o max = 254 pies.

Resumen de la lección

El valor máximo de una función es el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en un gráfico. Si su ecuación cuadrática tiene un negativo de un plazo, sino que también tendrá un valor máximo. Hay tres formas de encontrar ese máximo, dependiendo de la forma de cuadrática que tenga. Si tiene la gráfica , o puede dibujarla, el máximo es solo el valor de y en el vértice de la gráfica. Si no puede dibujar un gráfico, existen fórmulas que puede usar para encontrar el máximo. Si se le da la fórmula y = ax 2 + bx + c , entonces puede encontrar el valor máximo usando la fórmula max = c – (b 2 /4 una ). Si tiene la ecuación y = a ( x – h ) 2 + k y el un término es negativo, entonces el valor máximo es k .