Hallar la inversa de una matriz de 3×3

Preparando el problema

¿Por qué necesitarías hallar la inversa de una matriz de 3×3? Bueno, las matrices y las matrices inversas tienen muchas aplicaciones en geometría, ciencias y especialmente informática. Digamos que usted es diseñador de computadoras, o quiere serlo algún día, y necesita tomar la matriz a continuación y encontrar su inversa.

Para encontrar la inversa de una matriz de 3×3, primero tenemos que saber qué es la inversa. Matemáticamente, esta definición es bastante simple. Solo mira la ecuación a continuación:

Veamos todos los términos de la ecuación matricial anterior y veamos qué significan en un lenguaje sencillo. M es solo nuestra matriz original. M elevado a la potencia de -1 es el símbolo matemático de la matriz inversa de M. Y finalmente, I es la matriz de identidad , que tiene unos en la diagonal principal y ceros en todas partes. Se parece a esto:

Entonces, la matriz inversa es la matriz por la que tendremos que multiplicar nuestra matriz original para obtener la matriz identidad. Bastante simple en concepto, ¿verdad? Pero, ¿cómo se calcula una matriz inversa? Para eso, pasaremos a otra ecuación matricial:

Esta ecuación nos muestra que para encontrar la matriz inversa tenemos que encontrar la matriz adjunta y dividir por el determinante. Miremos estos uno a la vez, comenzando con el determinante.

Determinante

El determinante de una matriz es un número único que es característico de esa matriz. Puede encontrar el determinante utilizando varios métodos. Para este ejercicio, usaremos un método que usa expansión a lo largo de una fila o columna. ¿Por qué? Porque este método reduce el número de cálculos si tiene ceros en su matriz. Dado que tenemos un cero en nuestra matriz y nos gustaría reducir el número de cálculos, este método funcionará bien para nosotros.

Para usar el método de expansión, necesitaremos multiplicar cada término en la fila o columna que elegimos por su cofactor. Los cofactores son los determinantes de la submatriz de un elemento de la matriz que no incluye las filas o la columna de ese elemento. Esto suena confuso, pero en realidad es bastante simple.

Por ejemplo, el cofactor del elemento de la matriz de M en la primera fila y la primera columna será el determinante de la submatriz que no incluye ningún elemento de la primera fila (1, 2, 3) ni de la primera columna (1, 0 , 1). La expansión del elemento de la primera fila, primera columna multiplicada por su cofactor se ve así:

Continuando con nuestra expansión a lo largo de la primera columna, tendremos el elemento de la primera columna (1, 0, 1), la segunda fila (0, 1, -2) multiplicado por el cofactor. ¡Pero espera! Ese elemento es igual a 0, y cualquier cosa multiplicada por 0 es solo 0. No tenemos que calcular nada para este término. Esto nos ahorra un paso, que es lo que queríamos en primer lugar.

El último término de nuestra expansión será la primera columna (1, 0, 1), la tercera fila (1, 2, 5) y se verá así:

Cuando sumamos todos nuestros elementos de expansión obtenemos 9 + 0 – 7 = 2. Esto significa que el determinante de nuestra matriz es igual a 2. Mucho trabajo para un número pequeño, pero estamos progresando.

Matriz adyuvante

Ahora que tenemos el determinante de nuestra matriz, todo lo que tenemos que hacer es encontrar la matriz adjunta. La matriz adjunta se encuentra encontrando primero la matriz de transposición, encontrando los cofactores de la matriz de transposición y finalmente aplicando signos alternos a la matriz de transposición. La matriz de transposición es nuestra misma matriz pero con las filas convertidas en columnas y las columnas convertidas en filas. A algunas personas les gusta pensar en esto como invertir la matriz sobre la diagonal principal. De cualquier manera que lo mires está bien, porque de cualquier manera terminarás con esto:

El siguiente paso es reemplazar cada elemento en esta matriz transpuesta con su cofactor, usando el mismo proceso que acabamos de repasar para encontrar los determinantes de la submatriz.

Después de encontrar los determinantes de las nueve de estas matrices 2×2, terminamos con la siguiente matriz:

Ahora que tenemos todos esos valores, necesitamos cambiar algunos de los signos en esta matriz. Comenzamos con un positivo en la esquina superior izquierda y lo alternamos con negativos, así.

La aplicación de estos cambios de signo conduce a nuestra matriz adjunta final de:

Matriz inversa

Ahora que tenemos nuestra matriz adjunta, todo lo que tenemos que hacer es multiplicar por 1 sobre el determinante. En nuestra matriz, nuestro determinado es 2, por lo que esto significa que multiplicamos la matriz adjunta por ½, lo que da como resultado nuestra matriz inversa final:

Solución

¡Uf! Después de todo ese trabajo, nuestra respuesta final para la matriz inversa es:

Comprobando su trabajo

Ahora que tenemos nuestra matriz inversa final, ¿cómo sabemos que es la respuesta correcta? Bueno, si volvemos a nuestra ecuación de matriz inversa original. . .

podemos ver que todo lo que tenemos que hacer es multiplicar nuestra matriz original por nuestra respuesta y deberíamos obtener la matriz de identidad. Veamos como lo hacemos:

¡Y ahí lo tenemos! Dado que nuestra respuesta resuelve la ecuación matricial inversa original, sabemos que hemos hecho nuestro trabajo correctamente. Si hubiéramos obtenido algo más que la matriz de identidad, sabríamos que cometimos un error en algún lugar del camino.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador