Identidad de Euler: definición y ejemplo

Identidad de Euler

La identidad de Euler es la famosa ecuación matemática e ^ ( i * pi) + 1 = 0 donde e es el número de Euler, aproximadamente igual a 2.71828, i es el número imaginario donde i ^ 2 = -1, y pi es la razón de un círculo. circunferencia al diámetro del círculo aproximadamente igual a 3,14. Lleva el nombre de Leonhard Euler, un matemático suizo que descubrió esta fórmula en el siglo XVIII.

¿Por qué vale la pena recordar esto? Vale la pena recordar, ya que es la única ecuación que lo que simplemente une las constantes matemáticas de pi, i , y E junto con 0 y 1.

¿Por qué es importante la identidad de Euler?

A los matemáticos les encanta la identidad de Euler porque se considera una belleza matemática, ya que combina cinco constantes de matemáticas y tres operaciones matemáticas, cada una de las cuales ocurre solo una vez. Las tres operaciones que contiene son exponenciación, multiplicación y suma. Las cinco constantes que combina esta ecuación son el número 0, el número 1, el número pi, el número e y el número i .

Conocemos los números 0 y 1. Recordamos que el número pi es aproximadamente 3,14 y es indefinido. El número e , como el número pi, continúa indefinidamente y es aproximadamente 2.71828. El número i es nuestro número imaginario donde i ^ 2 es igual a -1.

¿Por qué es esto tan hermoso para los matemáticos? Es una belleza porque es una ecuación tan simple que muestra la relación de tantas constantes de matemáticas. ¿Puedes pensar en otras ecuaciones que sean tan simples y que relacionen tantas constantes juntas?

Fórmula de Euler

La identidad de Euler es en realidad un caso especial de la fórmula de Euler , e ^ ( i * x ) = cos x + i sen x , cuando x es igual a pi. Cuando x es igual a pi, el coseno de pi es igual a -1 y el seno de pi es igual a 0, y obtenemos e ^ ( i * pi) = -1 + 0 i . La parte imaginaria 0 desaparece y obtenemos e ^ ( i * pi) = -1. Mover el -1 al otro lado sumando nos da la identidad de Euler. Mirando la fórmula de Euler, e ^ ( i * x ) = cos x+ i sen x , vemos que e llevado a una potencia imaginaria es igual a un número complejo que consta de una parte real (la parte coseno) y una parte imaginaria (la parte seno).

Debo advertirle cuando use esta fórmula. Es posible que tenga la tentación de usar grados para la x al calcular el coseno y el seno, pero esta fórmula usa radianes. Los radianes son una forma diferente de medir ángulos. Entonces, cuando use su calculadora para resolver problemas, asegúrese de que su calculadora esté configurada para hacer cálculos en radianes y no en grados.

Otra cosa a tener en cuenta aquí es que a veces los matemáticos abrevian cos x + i sin x como cis x , por lo que es posible que vea la fórmula de Euler escrita como e ^ ( i * x ) = cis x .

Un ejemplo

¿Cómo utilizamos la identidad de Euler y la fórmula de Euler? Usamos la identidad de Euler para mostrar cómo se relacionan las constantes e , pi e i . La fórmula de Euler se usa para ayudarnos a calcular e elevado a una potencia imaginaria. Veamos cómo calculamos un número de muestra.

Usemos la fórmula de Euler para ayudarnos a calcular e ^ ( i * 2). Mirando lo que queremos calcular, vemos que el 2 está en el lugar de nuestra x , por lo que nos dice que reemplacemos la x en nuestro coseno y seno con 2.

e ^ ( yo * 2) = cos 2 + yo pecado 2

Ahora, necesitamos calcular qué coseno de 2 y seno de 2 son iguales. Pasamos a nuestra calculadora y recordamos cambiar nuestros cálculos a radianes. Conectando el coseno de 2 en radianes, obtenemos -0,416. El seno de 2 nos da 0,909.

e ^ ( i * 2) = -0,416 + 0,909 i

Ahora que he calculado por seno y coseno, lo escribo en formato de número complejo con la parte real primero seguida de la parte imaginaria. La parte imaginaria tiene la i que sigue al valor. Es por eso que escribí la i después de 0.909. Cuando lleguemos a este punto, habremos terminado.

Como hemos visto, usar la fórmula de Euler es bastante sencillo. Vale la pena memorizar esta fórmula, al igual que la identidad de Euler.

Resumen de la lección

¿Así que, qué hemos aprendido? Hemos aprendido que la identidad de Euler es e ^ ( i * pi) + 1 = 0 donde e es el número de Euler aproximadamente igual a 2.71828, i es el número imaginario donde i ^ 2 = -1, y pi es la razón de un círculo circunferencia al diámetro del círculo aproximadamente igual a 3,14. El nombre del matemático suizo Leonhard Euler, la identidad de Euler es el caso especial de la fórmula de Euler , e ^ ( i * x ) = cos x + i sen x , cuando x es igual a pi. Cuando xes igual a pi, la ecuación nos dice que e ^ ( i * pi) = -1. Moviendo el -1, obtenemos la identidad de Euler.

Cuando utilizamos esta ecuación, nos aseguramos de que todos nuestros cálculos se realicen utilizando radianes y no grados. Los radianes son simplemente otra forma de medir ángulos.

Los matemáticos llaman a la identidad de Euler una belleza matemática porque incluye cinco constantes matemáticas (0, 1, e , i , y pi) exactamente una vez y usa la suma, la exponenciación y la multiplicación exactamente una vez también. Es hermoso en su simplicidad y amplitud al mismo tiempo. El uso de la fórmula de Euler produce un número complejo con una parte real (la parte del coseno) y una parte imaginaria (la parte del seno).

Los resultados del aprendizaje

Mire esta lección en video mientras persigue estos objetivos:

• Expresar y utilizar la identidad de Euler y la fórmula de Euler.
• Relacionar la importancia de la identidad de Euler
• Nombra las tres operaciones y cinco constantes contenidas en la identidad de Euler
• Recuerde que a veces verá la fórmula de Euler escrita como e ^ ( i * x ) = cis x

Rodrigo Ricardo Editor y fundador