Identidades de doble ángulo: usos y aplicaciones

Identidades de doble ángulo

En trigonometría, tenemos muchas identidades o afirmaciones verdaderas. El conjunto que veremos en esta lección en video se llama identidades de doble ángulo . Estos son los enunciados verdaderos de funciones trigonométricas con ángulos dobles. Los ángulos dobles son los ángulos que se han duplicado o multiplicado por 2. Puede pensar en ellos como definiciones de la función de ángulo doble más compleja en términos de funciones de ángulo único más simples. Entonces, estas identidades realmente te ayudan a dividir una función más complicada en una función más simple que te resultará más fácil de resolver. Tenemos un total de tres identidades de este tipo: una para el seno, una para el coseno y otra para la tangente.

No te asustes. Sé que el segundo luce horrible, pero en realidad no es tan malo. Mire con cuidado y verá que el segundo, el del coseno, en realidad le brinda varias opciones para reescribir la función coseno de un ángulo doble. Podemos escribirlo como el cuadrado del coseno menos el cuadrado del seno o podemos escribirlo como 1 menos 2 veces el cuadrado del seno. O podemos escribirlo como 2 veces el cuadrado del coseno menos 1. Entonces tenemos un total de tres opciones. Y fíjate en los signos iguales entre todos. Esto también nos da varias identidades más, por así decirlo. Estos signos iguales también nos dicen que 1 menos 2 veces el cuadrado del seno también es igual a 2 veces el cuadrado del coseno menos 1. Todos los enunciados en ese segundo son iguales entre sí. Entonces, si vemos alguno de estos, podemos reescribirlo como cualquiera de los demás.

Usos y aplicaciones

Eso nos da una pista de para qué podemos usar estas identidades. Debido a que estas identidades descomponen una función más complicada, podemos usar estas identidades para ayudarnos a simplificar problemas de activación más complicados. Si simplificamos una función trigonométrica más complicada, nos ayudará a resolverla más fácilmente.

También podemos usar estas identidades comprobadas para ayudarnos a probar otras declaraciones trigonométricas. Los verá en las pruebas en las que el problema le pide que pruebe una declaración de activación aleatoria. Entonces, es su trabajo usar las identidades que conoce, como estas identidades de doble ángulo, para ayudarlo a avanzar de un lado de la ecuación al otro.

Veamos un par de ejemplos para ver cómo se hace esto.

Ejemplo 1

Primero, tenemos un problema que quiere que reescribamos 3sin (2 x ) en términos de un solo ángulo.

¿Cómo podemos hacer eso? Podemos hacer esto con el uso de nuestras identidades de doble ángulo. Miramos a través de nuestras identidades y vemos que la primera nos da el doble ángulo del seno como ángulos simples. Reescribiendo nuestro sin (2 x ) usando esta identidad, obtenemos una respuesta de 6sin ( x ) cos ( x ). ¿Por qué 6? Bueno, teníamos 3 en nuestro término original, y tenemos un 2 de la identidad: 3 por 2 es 6. Entonces, nuestra respuesta comienza con el 6.

Ejemplo 2

Veamos otro. Esta vez, tenemos un problema que quiere que demostremos el enunciado tan (2 x ) – tan ^ 2 ( x ) tan (2 x ) = 2tan ( x ).

Para probar una afirmación como esta, comenzamos por el lado más complicado. Sustituimos en las identidades que conocemos para ver si simplifica nuestro problema. Nuestro objetivo es convertir el lado más complicado en el lado más simple. Veamos qué podemos hacer. Observamos nuestro problema y vemos una tangente de 2 x en ambos términos en el lado izquierdo. Podemos seguir adelante y factorizar eso. Obtenemos (tan (2 x )) (1 – tan ^ 2 ( x )). La tangente de 2 x es un ángulo doble, por lo que podemos usar una de nuestras identidades. Usaremos el de tangente. Reescribimos el lado izquierdo sustituyendo en la identidad. Obtenemos esto:

Mire esto por un tiempo, y vemos que hay algo que podemos cancelar. Podemos cancelar el 1 – tan ^ 2 ( x ) ya que tenemos uno en el numerador y denominador. ¿Qué nos queda? Nos quedamos con 2tan ( x ). ¡Eso es lo que queríamos! Debido a que se nos pidió que demostráramos esto, nuestra respuesta completa debe incluir todos los pasos que tomamos para pasar del lado más complicado al lado más simple. Nuestra respuesta completa es esta:

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido hasta ahora. Aprendimos que nuestras identidades de doble ángulo son los enunciados verdaderos de funciones trigonométricas con ángulos dobles. Tenemos tres en total: uno para el seno, uno para el coseno y uno para la tangente.

Usamos estas identidades para ayudarnos a simplificar problemas de activación más complicados y también para ayudarnos a probar otras declaraciones de activación.

Los resultados del aprendizaje

Después de revisar esta lección, tendrá la capacidad de:

• Definir identidades de doble ángulo
• Identifica las tres identidades de doble ángulo
• Explica cómo usar estas identidades para resolver problemas de trigonometría complicados o probar afirmaciones de trigonometría.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador