Identidades de producto a suma: usos y aplicaciones

Identidades de producto a suma

En trigonometría, utilizamos identidades o afirmaciones verdaderas. Como has visto, hay muchos. En esta lección en video, hablaremos sobre el grupo de identidades conocido como identidades producto a suma . Estas identidades son las verdaderas declaraciones trigonométricas que le muestran cómo pasar del producto de dos funciones trigonométricas a la suma de dos funciones trigonométricas. Piense en estos como definiciones.

Dado que son definiciones, también son intercambiables. Puede utilizar la forma de producto o la forma de suma para describir lo mismo. Tenemos un total de cuatro de estas identidades. Todas involucran solo las funciones coseno y seno.

¿Cómo puedes recordar estos? Busque patrones. Mira los dos primeros. Observe cómo el lado izquierdo tiene las funciones seno y coseno. Los lados derechos solo tienen la función seno. El lado derecho tiene nuestros dos ángulos sumados y luego restados entre sí. Además, observe que si la función seno aparece primero en el lado izquierdo, entonces tenemos un plus entre nuestras funciones seno en el lado derecho.

Ahora mire las dos últimas funciones. El lado izquierdo tiene dos de las mismas funciones. Son ambos cosenos o ambos senos. El lado derecho tiene solo la función coseno. Si nuestras dos funciones en el lado izquierdo son cosenos, entonces nuestros cosenos se suman en el lado derecho. Además, observe que nuestra resta y suma de nuestros dos ángulos se ha cambiado de las dos primeras identidades. Ahora tenemos primero la resta de nuestros dos ángulos. Tómate un momento y busca otros patrones. ¿Qué más ves que te pueda ayudar?

Usos y aplicaciones

Es bueno memorizarlos si puede, porque estas identidades le ayudarán a simplificar problemas de activación más complicados, así como a probar otras declaraciones de activación. Encontrará este conjunto de declaraciones trigonométricas en pruebas y en sus otras clases de trigonometría. Estas identidades trigonométricas también son útiles para ayudar a resolver las integrales de matemáticas superiores en problemas de cálculo. ¿Quiere ver un par de ejemplos de los tipos de problemas que puede esperar encontrar? Bien, echemos un vistazo.

Ejemplo 1

Para nuestro primer problema, veremos un problema de simplificación.

Reescribe la función cos (40) sin (30) sin usar la multiplicación.

Hemos leído el problema. El problema quiere que reescribamos la función para que no tengamos la multiplicación. ¿Qué podemos hacer?

Pensamos en las identidades que acabamos de aprender al comienzo de esta lección. ¿No nos ayudan estas identidades a convertir un problema de multiplicación en uno sin multiplicar? Ellos si. Entonces, veamos nuestras identidades nuevamente. Ah, vemos que la segunda identidad encaja con nuestro problema. Entonces, comienza con coseno y se multiplica por la función seno. Ahora, podemos seguir adelante y seguir lo que dice en el lado derecho para encontrar nuestra respuesta. Para la primera función seno, sumamos nuestros dos ángulos hasta 70. Para la segunda función seno, restamos 40 – 30 para obtener 10 para ese argumento. Obtenemos una respuesta de 1/2 (pecado (70) – pecado (10)) y ¡terminamos!

Ejemplo 2

Nuestro segundo problema ahora es probar una declaración trigonométrica.

Demuestre el enunciado trigonométrico 2 sin (x) sin (y) = cos (x – y) – cos (x + y).

Recuerde que para probar un enunciado matemático, comenzamos con el lado más difícil y tratamos de simplificar ese lado en el otro lado. Entonces, en lugar de trabajar con ambos lados, trabajamos solo con un lado. Para nuestro problema, parece que ambos lados tienen la misma dificultad. Entonces, simplemente elegiremos un lado y partiremos de allí. Elegimos el lado izquierdo.

Entonces, queremos convertir el lado izquierdo en el lado derecho de alguna manera. Recurrimos a nuestras identidades. Vemos que podemos sustituir la cuarta identidad en el lado izquierdo. Haciendo eso obtenemos 2 (1/2) * (cos (x – y) – cos (x + y). Hmm. Parece que podemos cancelar el 2 con el 1/2. Haciendo eso, nos quedamos con cos (x – y) – cos (x + y), nuestro lado derecho. ¡Lo hicimos! Dado que este es un problema de prueba, nuestra respuesta completa incluye todos los pasos que tomamos.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora:

Nuestras identidades de producto a suma son las verdaderas declaraciones trigonométricas que le muestran cómo pasar del producto de dos funciones trigonométricas a la suma de dos funciones trigonométricas. Estas identidades se utilizan para simplificar problemas trigonométricos más complicados y también para probar otras declaraciones trigonométricas. Tenemos un total de cuatro identidades producto a suma. Todas estas identidades involucran solo las funciones coseno y seno.

Los resultados del aprendizaje

Después de revisar esta lección, debería tener la capacidad de:

• Describir el propósito de las identidades de producto a suma.
• Identificar las cuatro identidades de producto a suma
• Explica cómo usar estas identidades para resolver problemas más complicados o probar otras declaraciones trigonométricas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador