Identidades de suma a producto: usos y aplicaciones

Identidades de suma a producto

Las identidades de suma a producto son las verdaderas declaraciones de trigonometría que le dicen cómo convertir la suma o resta de dos funciones trigonométricas en el producto de dos funciones trigonométricas. Piense en estas definiciones como si le dijeran a qué es igual algo. Puede ir y venir entre la definición y el término que se está definiendo. Las llamamos identidades, en plural, porque tenemos más de una. ¡Tenemos cuatro de ellos! Todas estas identidades se ocupan exclusivamente de las funciones coseno y seno. Echemos un vistazo a cómo se ven.

Identidades de suma a producto

¡Son muchos senos y cosenos! Pero observe algunos de los patrones. Ver los patrones te ayudará a recordar estas fórmulas. Observa que cuando tienes la suma o resta de dos funciones seno, terminas con el producto de las funciones seno y coseno. El argumento de la primera función es x + y sobre 2, y el argumento de la segunda función es x – y sobre 2.

Si tenemos la suma de dos funciones seno, entonces nuestra primera función es un 2. Si tenemos resta, entonces nuestra primera función es la función coseno. Ahora, si tenemos la suma o resta de dos funciones coseno, entonces terminamos con el producto de dos funciones seno o dos funciones coseno. Si tenemos la suma de dos funciones coseno, entonces terminamos con el producto de dos funciones coseno. Si tenemos la resta de dos funciones coseno, entonces terminamos con el negativo del producto de dos funciones seno.

Entonces, si tiene la suma de dos funciones, entonces su primer término siempre será el mismo que las funciones que está sumando o restando. Piense en el signo más como si le dijera: «Sí, estoy seguro de que estas funciones son las primeras». Tómese un momento y vea si puede detectar otros patrones.

Usos y aplicaciones

Recordar estas identidades le ayudará cuando necesite resolver problemas de trigonometría. Utilizará estas identidades para ayudarlo a simplificar problemas trigonométricos más complicados y para probar otras declaraciones trigonométricas. En matemáticas superiores, como el cálculo, estas identidades ayudan a resolver problemas integrales complicados. ¿Estás listo para echar un vistazo a un par de ejemplos? De acuerdo, vamos.

Ejemplo 1

Nuestro primer ejemplo quiere que reescribamos sin (35) – sin (15) usando la multiplicación. ¿Cómo podemos hacer eso? Podemos hacer esto haciendo uso de nuestras identidades. Miramos nuestra lista y vemos que nuestro problema coincide con la segunda identidad. Podemos usar esta identidad para ayudarnos a reescribir nuestra resta de dos funciones seno en términos de multiplicación. Seguimos nuestra identidad, sumando nuestros dos ángulos y luego restando nuestros dos ángulos antes de dividir por 2. Obtenemos 2 cos (25) sin (10) para nuestra respuesta.

Ese no fue tan malo. ¿Ves cómo memorizar estas identidades hace que estos problemas sean mucho más fáciles? Habrías visto esta identidad a una milla de distancia. Solo una mirada al problema e inmediatamente lo reconocería como un problema que involucra esta identidad.

Ejemplo 2

Nuestro segundo problema nos pide que probemos esta declaración trigonométrica:

Cuando probamos una declaración en particular, elegimos el lado más difícil y tratamos de simplificarlo para que se vea como el otro lado. En lugar de trabajar con ambos lados, trabajamos solo con un lado, dejando el otro igual. Nuestro objetivo es igualar los lados entre sí.

Para nuestro problema, ambos lados parecen igualmente difíciles. Así que elegiremos un lado al azar. Elijamos el lado izquierdo. Bueno. Así que queremos convertir el lado izquierdo en el lado derecho. Podemos hacer esto sustituyendo nuestras identidades de suma a producto. Vemos que podemos reescribir nuestro lado izquierdo como (1/2) (cos ( x ) + cos ( y )). Cuando lo reescribimos así, vemos que podemos sustituir la suma de nuestros cosenos con su enunciado equivalente que usa la multiplicación. Sustituyendo eso, obtenemos esto:

Podemos simplificar este enunciado cancelando la mitad con el 2. ¿Qué nos queda? ¡Por qué, nuestro lado derecho! ¡Lo hicimos! Debido a que este problema nos pide que probemos el enunciado, nuestra respuesta completa debe incluir todos los pasos que dimos para ir del lado izquierdo al lado derecho. Nuestra respuesta completa se ve así:

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que nuestras identidades de suma a producto son las verdaderas declaraciones de trigonometría que le dicen cómo convertir la suma o resta de dos funciones trigonométricas en el producto de dos funciones trigonométricas. Tenemos un total de cuatro de estas identidades. Todas involucran solo las funciones coseno y seno.

Identidades de suma a producto

Usamos estas identidades para ayudarnos a simplificar problemas trigonométricos más complicados y también para probar otras declaraciones trigonométricas. Estas identidades también se utilizan en matemáticas superiores, como el cálculo, para ayudar a resolver problemas integrales complejos.

Los resultados del aprendizaje

Debería tener la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:

• Identificar las cuatro identidades trigonométricas de suma a producto
• Explicar cómo usar estas identidades para resolver problemas complejos y probar otras declaraciones trigonométricas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador