Identidades recíprocas: usos y aplicaciones

Las identidades recíprocas

En esta lección en video, hablamos sobre las identidades recíprocas de la trigonometría. ¿Qué son? Son las definiciones de nuestras funciones trigonométricas en términos de otra función trigonométrica. Nos dicen cómo se relacionan las funciones trigonométricas entre sí. También nos dicen qué funciones trigonométricas son recíprocas entre sí.

¿Recuerda que en matemáticas un recíproco de un número es 1 dividido por ese número? Por ejemplo, el recíproco de 5 es 1/5. Bueno, en trigonometría, el recíproco de una función trigonométrica es 1 dividido por otra función trigonométrica. ¿Qué son? Aquí hay seis de ellos:

Mire con atención y verá los pares correspondientes. Por ejemplo, debido a que la función seno es igual a 1 sobre la función cosecante, también tenemos la función cosecante es igual a 1 sobre la función seno. ¿Observa cómo las dos funciones trigonométricas correspondientes simplemente han cambiado de lugar? Tenemos seis declaraciones, por lo que verá tres pares correspondientes. ¿Puedes verlos?

Usos

Ahora sabemos cuáles son las identidades recíprocas. Entonces, ¿qué podemos hacer con ellos? Podemos usar estas identidades, o declaraciones verdaderas, para ayudarnos a simplificar los problemas de trigonometría. Hacemos esto sustituyendo nuestras definiciones en el problema donde podamos para ayudarnos a simplificar y luego resolver el problema.

Por ejemplo, el problema sin ^ 2 (pi / 2) * csc (pi / 2) puede parecer difícil al principio. Sin embargo, vemos que tenemos una función seno, así como una función cosecante. Sabemos que son funciones recíprocas. De hecho, podemos sustituir 1 sobre seno por la cosecante.

Después de hacer eso, nuestra función se vuelve muy simple. Con el recíproco, una de nuestras funciones de seno se puede cancelar y nos quedamos con un solo seno de pi / 2. pi / 2 es una medida en radianes. Podemos usar nuestro círculo unitario para encontrar nuestra respuesta o podemos ingresar esto en una calculadora, asegurándonos de que nuestra calculadora esté configurada en radianes. Al hacer esto, vemos que obtenemos una buena respuesta de 1:

Una buena regla a seguir para facilitar la resolución de problemas es reescribir sus funciones en seno, coseno y tangente. Entonces, si ve dos funciones que son recíprocas entre sí, reescriba la que no sea la función seno, coseno o tangente.

Ejemplo 1

Veamos un par de ejemplos más para ver cómo podemos usar nuestras identidades recíprocas. Mire este problema: Simplifique cos (theta) * sec (theta) * tan (theta) * cot (theta).

A primera vista, podríamos preguntarnos cómo podríamos simplificar esto. Tenemos cuatro funciones que se multiplican todas juntas. ¿Cómo podemos cancelar algo?

No se preocupe, nuestras identidades recíprocas están aquí para ayudarnos. Tenemos un coseno y una secante. Son recíprocos. Entonces, podemos escribir nuestra secante como 1 sobre coseno; lo mismo con tangente y cotangente. Podemos escribir nuestra cotangente como 1 sobre tangente.

¿Qué pasa después de que hacemos eso? Podemos empezar a cancelar los términos. ¿Qué nos queda? ¡Un 1 grande y simple! ¡Hurra! ¡Eso fue genial!

Ejemplo 2

Veamos uno más:

¿Cómo podemos simplificar esto? Vemos que tenemos una función seno, una función secante y una función coseno. ¿Cuáles son recíprocos entre sí?

La secante y el coseno. Podemos reescribir la función secante como 1 sobre el coseno. Pero espera, nuestra secante ya está en el denominador. qué hacemos?

Fácil, esta vez reescribimos el coseno en el numerador. ¿Por qué? Porque 1 sobre secante es igual al coseno en el numerador. Entonces, ahora tenemos un coseno en el numerador y un coseno en el denominador. Podemos cancelarlos. ¿Qué nos queda?

El seno de theta. Y en este punto, no podemos hacer nada más, así que hemos terminado. Nuestro problema se simplificó hasta el seno de theta:

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que nuestras identidades recíprocas son las definiciones de nuestras funciones trigonométricas en términos de otra función trigonométrica. Tenemos un total de seis identidades recíprocas. Las identidades en realidad se emparejan en tres pares correspondientes de recíprocos. Aquí está la tabla de todas las identidades recíprocas:

Usamos estas identidades trigonométricas recíprocas para ayudarnos a simplificar los problemas trigonométricos en otros más simples que podamos resolver fácilmente. Una buena regla a seguir al simplificar nuestros problemas con estas identidades recíprocas es reescribir las cosas en términos de coseno, seno y tangente. Después de reescribir nuestro problema con la ayuda de nuestras identidades recíprocas, podemos cancelar términos para encontrar nuestra expresión simplificada.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Definir identidades recíprocas e identificar las seis identidades recíprocas
• Explicar cómo se pueden utilizar estas identidades recíprocas para facilitar la resolución de problemas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador