Interpretaciones del mundo real de ecuaciones cuadráticas

Ecuación de movimiento

Cuando lanzas una pelota, su movimiento a través del aire generalmente se describe como caída libre , lo que significa que la única fuerza que actúa sobre ella es la fuerza de gravedad. (¡Tendemos a ignorar otras fuerzas causadas por la resistencia del aire, el viento o cualquier colisión que la pelota pueda tener en el camino con pájaros, insectos o incluso drones!) La ecuación de movimiento describe la posición vertical de la pelota en función del tiempo. , y esta ecuación es:

(¡Si ha tomado un curso de introducción a la física, esta ecuación puede parecerle familiar!) Cuando se le da la velocidad inicial ( v yo ) de la pelota y una altura ( y ) de su elección, la única cantidad desconocida restante en la ecuación es el tiempo ( t ). Y así, la ecuación se convierte en una ecuación cuadrática .

Problema de ejemplo

Entonces, digamos que lanza la pelota hacia arriba, dándole una velocidad vertical inicial v yo de 80 pies / segundo. Luego, suponga que siente curiosidad por saber cuánto tiempo le tomará a la pelota alcanzar una altura específica y , digamos que elige 96 pies. Conectando las cantidades dadas a la ecuación de movimiento se obtiene:

Al reorganizar los términos, moviendo todo hacia el lado izquierdo, podemos obtener la ecuación cuadrática en su forma estándar más familiar , a x 2 + b x + c = 0:

Aquí, a = 16, b = -80, c = 96, y la variable es t (en oposición a x ). Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, pero generalmente vale la pena intentar factorizar primero. Factorizando el polinomio de la izquierda:

y luego establecer cada factor en cero:

encontramos que las soluciones de la ecuación son t = 2 segundos y t = 3 segundos.

¡Pero espera! ¿Cómo pueden haber dos soluciones? Pensemos en esto un momento. Si tuviéramos que tomar nuestra ecuación de movimiento, con la velocidad vertical inicial dada de 80 pies / segundo, y graficar la altura de la bola y en función del tiempo t , obtendríamos la siguiente gráfica simétrica:

Observe que la altura que elegimos, 96 pies, se logra dos veces: a los 2 segundos en el camino hacia arriba y luego nuevamente a los 3 segundos en el camino hacia abajo.

Características adicionales de la ecuación cuadrática

En el ejemplo anterior, observamos la relación y = 80 t – 16 t 2 y determinamos que, para un valor dado de y , la relación se convierte en una ecuación cuadrática que puede resolverse para t . A través de un examen más detallado de la ecuación y su gráfico, podemos observar lo siguiente:

• La gráfica de una función cuadrática, como se muestra en nuestro ejemplo, es un tipo especial de curva llamada parábola .
• Las parábolas son simétricas alrededor de una línea llamada eje de simetría . En nuestro ejemplo, el eje de simetría es la línea vertical en t = 2.5 segundos. Observe que, debido a la simetría de la curva, este tiempo está a medio camino entre nuestras dos soluciones, t = 2 segundos yt = 3 segundos.
• El punto donde la parábola cruza el eje de simetría se llama vértice . Observe que el vértice que se muestra en nuestro ejemplo es el punto donde la pelota alcanza su altura máxima, 100 pies a los 2.5 segundos.
• Tenga en cuenta que hay dos soluciones, dos valores de t , que satisfacen la ecuación cuadrática en cada altura y a lo largo de la parábola, excepto en el vértice donde solo hay una solución.
• Pudimos resolver la ecuación en nuestro ejemplo factorizando. Sin embargo, si ese método resulta ser demasiado difícil, siempre se puede resolver una ecuación cuadrática por primera conseguir que en la forma de un x 2 + b x + c = 0, y después de conectar los valores de una , b , y c en el fórmula cuadrática :

(El signo ± indica las dos soluciones que obtenemos de esta fórmula).

Resumen de la lección

La altura de un objeto en caída libre en función del tiempo es solo un ejemplo de una relación definida matemáticamente como una ecuación cuadrática y gráficamente como una parábola. Hay muchas otras cantidades del mundo real que se relacionan de esta manera y muchos otros problemas del mundo real que dan como resultado ecuaciones cuadráticas. La capacidad de resolver una ecuación cuadrática, graficar la relación y dar sentido a los resultados son habilidades útiles que vale la pena desarrollar.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador