Introducción al álgebra lineal: aplicaciones y descripción general

Definiciones

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se ocupa de matrices, vectores y espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones lineales.

Un vector es cualquier cantidad que está representada tanto por una cantidad como por una dirección, como la velocidad o la fuerza, como una flecha de cierta longitud que apunta en cierta dirección. Un vector puede estar representado por un par ordenado, triple o más, como (3, 2, -1). Esto representaría una flecha que apunta de (0, 0, 0) a (3, 2, -1). Podemos encontrar la longitud y la dirección usando el triple ordenado (3, 2, -1).

Una matriz (el plural es matrices ) es como una tabla o matriz en la que los números se organizan en filas y columnas. Podemos pensar en las filas de la matriz como vectores, y también podemos pensar en las columnas de una matriz como vectores.

Probablemente le resulte familiar un sistema de ecuaciones lineales , al menos hasta cierto punto. Consiste en más de 1 ecuación en la que ninguna de las variables se eleva a ninguna potencia distinta de 1, y cualquier solución del sistema tendrá que hacer que todas las ecuaciones sean verdaderas. He aquí un ejemplo sencillo:

3 x + 2 y = 5

2 x + 5 y = 3

Si organizamos las ecuaciones para que las variables estén en el mismo orden, podemos mirar los coeficientes (los números que se multiplican por las variables) y las constantes (los números que no se multiplican por nada) como una matriz, así :

¡Todo encaja!

Aplicaciones

Una de las cosas que podemos hacer con un vector es encontrar su longitud si conocemos sus coordenadas. Por ejemplo, supongamos que tenemos un vector representado por (2,3):

Podemos encontrar la longitud de este vector usando el teorema de Pitágoras: Si c es la longitud de la hipotenusa (el lado largo) de un triángulo rectángulo y un y b son las longitudes de los otros lados, a continuación, c ^ 2 = un ^ 2 + b ^ 2. De hecho, la longitud de ‘A’ es la raíz cuadrada de 2 ^ 2 + 3 ^ 2, que es la raíz cuadrada de 13. Podemos extender esto a 3 dimensiones o más: para encontrar la longitud de un vector en cualquier número de dimensiones, cuadramos cada coordenada, sumamos todos esos cuadrados y sacamos la raíz cuadrada de esa suma. Veámoslo escrito:

La longitud de un vector puede representar la velocidad de un objeto en movimiento o el tamaño de una fuerza, o muchas otras cosas además de la simple distancia.

Ahora, veamos otro sistema de ecuaciones, junto con su matriz aumentada , una matriz de todos los números del sistema. Suponga que necesito crear una mezcla para comida para perros que tenga 8 gramos de carbohidratos, 7 gramos de proteína y 11 gramos de grasa. Tengo 3 ingredientes crudos: x tiene 1 gramo de carbohidratos, 2 gramos de proteína y 3 gramos de grasa por onza; y tiene 2 gramos de carbohidratos, 1 gramo de proteína y 1 gramo de grasa por onza; z tiene 1 gramo de carbohidratos, 1 gramo de proteína y 2 gramos de grasa por onza. Podemos escribir esto como un sistema de ecuaciones como este:

x + 2 y + z = 8

2 x + y + z = 7

3 x + y + 2 z = 11

Podemos resolver el sistema de ecuaciones realizando operaciones de fila elementales en la matriz. Hay 3 tipos de operaciones de fila elementales:

– Multiplica una fila hasta un número que no sea 0.

– Cambiar las posiciones de 2 filas.

– Suma un múltiplo de 1 fila a otra.

Usemos esta matriz para resolver:

Ya tenemos un 1 en la posición x , así que dejémoslo e intentemos sacar ceros en esa posición para los demás. Podemos restar el doble de la primera fila de la segunda fila:

Ahora podemos restar 3 veces la primera fila de la tercera fila:

Podemos obtener un 1 en la posición y en la segunda fila dividiendo por -3 en toda su extensión:

Ahora podemos restar 2 veces la segunda fila de la primera:

También podemos agregar 5 veces la segunda fila a la tercera fila.

Ahora podemos dividir toda la tercera fila por 2/3.

Estamos llegando a alguna parte: de hecho, ya sabemos que z = 3. Podríamos terminar esto sustituyendo hacia atrás, pero sigamos con las operaciones de fila elementales. Puedo restar 1/3 de la fila 3 de la fila 1 para obtener ceros en la columna z .

Ahora sabemos que x = 1. Finalmente, puedo restar 1/3 de la fila 3 de la fila 2:

¡Ajá! x = 1, y = 2, z = 3. Querremos usar 1 onza de x 2 onzas de y , y 3 onzas de z en cada porción.

Resumen de la lección

A medida que continúe estudiando álgebra lineal , encontrará mucho más que se puede hacer con vectores y matrices. En esta lección, definimos el álgebra lineal, un vector , una matriz y operaciones de fila elementales en una matriz, y analizamos un par de aplicaciones.

Descripción general de álgebra lineal

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine esta lección, podrá:

• Describe el álgebra lineal
• Identificar las partes de una ecuación
• Explica qué son los vectores y las matrices.
• Entender cómo resolver una ecuación de álgebra lineal.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador