Inversiones de funciones de raíz cúbica

Funciones de raíz cúbica inversa

Es un día maravilloso para caminar por este sendero bien marcado. Al principio, hay un mapa de la parada del almuerzo: diríjase hacia el este por 3 millas, diríjase hacia el norte por 6 millas y luego hacia el oeste por otras 3 millas. Menos mal que Harry Hiker memorizó estas instrucciones porque al llegar a la parada para almorzar, se da cuenta de que le dejaron la comida al principio. ¡Ay! Ahora debe invertir sus operaciones en el orden inverso para volver al inicio.

«Volver al principio» es una forma de comprender las funciones inversas . Veremos una forma sistemática de producir funciones inversas. Pero primero, exploremos los cubos. Este será el tema del pensamiento de Harry.

Raíces cúbicas, cubos y funciones

¿Qué número multiplicado por sí mismo 3 veces es 8? Veamos, 2 por 2 por 2 es 8. La raíz cúbica de 8 es 2. Esto se escribe como 8 1/3 y también como ∛ (8).

¿Qué tal la raíz cúbica de un número negativo? ¿Qué es (-8) 1/3 ? Bueno, -2 por -2 por -2 es -8. Entonces, la raíz cúbica de -8 es -2.

¿Y si tuviéramos una función de x que incluyera una raíz cúbica? Veamos f ( x ) = (8 x ) 1/3 .

Podemos sustituir x por números . Por ejemplo, si x = 1, (8 x ) 1/3 = (8 (1)) 1/3 = 8 1/3 = 2. Otros números para x pueden ser -2, -1, 0 y 2. Sustituyendo cada uno de estos números para x en (8 x ) 1/3 nos da -2,52, 2, 0 y 2,52. Graficar estos números como los puntos (-2, -2.52), (-1, 2), (0, 0), (1, 2) y (2, 2.52) nos da los pequeños círculos que ves en el gráfico. Calcular más puntos completa la gráfica de f ( x ) = (8 x ) 1/3 .

La curva f (x)

Harry ‘deshace’ yendo al oeste yendo al este. En matemáticas, una división ‘deshará’ una multiplicación. Estas son operaciones inversas . ¿Qué ‘deshará’ una raíz cúbica? Respuesta: cubos . Por ejemplo, elevar al cubo 2 para obtener 8 es la operación inversa de enraizar el cubo 8 para obtener 2. Las operaciones tienen inversas. ¿Tiene una función inversa? Esperemos que sea así por el bien de Harry.

Inversión de una función

Comenzando con x para construir (8 x ) 1/3 , multiplicamos x por 8 para obtener 8 x . Luego, sacamos la raíz cúbica.

Piense en Harry, yendo del último paso al primer paso mientras invierte las operaciones. En el ejemplo de matemáticas, los pasos son multiplicar por 8 y sacar la raíz cúbica. Las operaciones inversas en orden inverso son de cubo y dividir por 8. Tomar x , cubo para obtener x 3 y se divide por 8 para obtener x 3 /8.

Este x 3 /8 se llama la función inversa y se escribe como f -1 ( x ).

La evaluación de x 3 /8 algunos valores de x da los puntos (-2, -1), (-1, -.125), (0, 0), (1, 0.125) y (2, 1) trazada como círculos. Trazar más puntos completa la curva de la función inversa.

La curva de la función inversa

Cómo funcionan gráficamente estas funciones

¿Cómo funciona f ( x )? Toma un valor de x y nos da un valor de y . Por ejemplo, si x es 1, comenzamos en el eje x en x = 1, subimos a la curva f ( x ) y luego nos dirigimos al eje y para obtener y = 2.

De 1 a 2 usando f (x)

¿Qué pasa con la función inversa? Comenzamos en x = 2, subimos a la curva f -1 ( x ) y luego nos dirigimos al eje y . Este valor de y es 1. La función inversa nos da una ruta de 2 a 1.

De 2 a 1 usando la función inversa

Harry ha llegado al principio. Mientras almuerza, se pregunta sobre una forma sistemática de obtener la función inversa.

Una forma sistemática de obtener la función inversa

Como excursionista, a Harry le gustan los pasos. Para encontrar la función inversa de f ( x ):

• Reemplaza f ( x ) con y
• Intercambio x y y
• Resuelve para y
• Reemplaza y con f -1 ( x )

Veamos algunos problemas de ejemplo.

1. Encuentre la función inversa de f ( x ) = (2 x ) 1/3 – 5.

Paso 1: reemplace f ( x ) con y

y = (2 x ) 1/3 – 5

Paso 2: intercambia x e y

x = (2 y ) 1/3 – 5

Paso 3: resuelve para y

Paso 4: reemplace y con f -1 ( x )

2. Encuentre la función inversa de f ( x ) = 4 ( x / 6) 1/3 + 5.

Paso 1: y = 4 ( x / 6) 1/3 + 5

Paso 2: x = 4 ( y / 6) 1/3 + 5

Paso 3: resuelve para y

Paso 4: reemplace y con f -1 ( x )

Comprobación de respuestas

Podemos usar una función compuesta para verificar nuestras respuestas. Una función compuesta es una función de una función. En lugar de evaluar f de x , evaluamos f de f -1 ( x ). Siempre que haya una x en f ( x ), reemplazamos la x con la expresión de f -1 ( x ). Esto se puede escribir como f (f -1 ( x )). El resultado debería ser x .

Veamos el primer ejemplo. Sustitución de x con f -1 ( x ), (2 x ) 1/3 – 5 se convierte en [2 f -1 ( x )] 1/3 – 5 = [2 ( x 5) 3 /2] 1/3 – 5 = [( x +5) 3 ] 1/3 – 5 = x +5 – 5 = x .

Verificando el segundo ejemplo, reemplace x con f -1 ( x ): 4 ( x / 6) 1/3 + 5 y simplifique.

Esto verifica nuestros resultados y el momento es bueno. Harry acaba de terminar de verificar sus sándwiches.

Resumen de la lección

Encontrar la raíz cúbica y hacer cubos son operaciones inversas . Una función también puede tener una inversa. La función inversa de f ( x ) se escribe f -1 ( x ). Para encontrar f -1 ( x ):

• Reemplaza f ( x ) con y
• Intercambio x y y
• Resuelve para y
• Reemplaza y con f -1 ( x )

Una función compuesta , una función de una función, es útil para verificar funciones inversas. La función compuesta f (f -1 ( x )) debe ser igual a x .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador