La relación entre el triángulo de Pascal y las combinaciones

La relación entre el triángulo de Pascal y las combinaciones

¿Has notado la variedad de jugos de frutas que se venden en el supermercado? Hay todo tipo de combinaciones, como mango-plátano-naranja y manzana-fresa-naranja. Jeremy se pregunta cuántas combinaciones diferentes se pueden hacer con cinco frutas. Su plan es tomar tres a la vez. Este número de combinaciones está relacionado con los números que aparecen en el triángulo de Pascal.

Contando el número de combinaciones

Una combinación es una agrupación de elementos de una colección más grande de esos elementos. En el ejemplo de los jugos de frutas, la colección más grande de Jeremy de 5 frutas podría ser: manzana, naranja, plátano, fresa y mango. Planea tomar 3 a la vez. No importa en qué orden se combinen las frutas; el jugo tendrá el mismo sabor. Además, no habrá repetición de la misma fruta para una combinación de jugo en particular. Jeremy quiere tres frutas distintas en cada combinación. Cuando el orden no importa, tenemos una combinación. Algunas combinaciones tienen repetición y otras no. En el caso de Jeremy, el orden de las frutas no importa y no hay repetición. Solo por diversión, enumeremos todas las posibilidades:

1. Manzana-Naranja-Plátano

2. Manzana-Naranja-Fresa

3. Manzana-Naranja-Mango

4. Manzana-Plátano-Fresa

5. Manzana-Banana-Mango

6. Manzana-Fresa-Mango

7. Naranja-Plátano-Fresa

8. Naranja-Plátano-Mango

9. Naranja-Fresa-Mango

10. Plátano-Fresa-Mango

Eso nos da 10 combinaciones de jugos de frutas.

La fórmula matemática para el número de combinaciones sin repetición es N ! / ( N ! ( N – n )!). En el caso de Jeremy, N es 5 y n = 3. Por tanto, el número de combinaciones es 5! / (3! (5-3)!). ¡El signo de exclamación significa factorial y 3! = 3 (2) (1) = 6. ¡El 5! = 5 (4) (3) (2) (1) = 120 y (5-3)! es 2! = 2 (1) = 2. Por lo tanto, el número de combinaciones es 5! / ((3!) (5-3)!) = 120 / ((6) (2)) = 120/12 = 10.

Una forma corta de escribir el número de combinaciones es

Esto se lee como » N toma n » y se evalúa usando factoriales. Por ejemplo, si Jeremy decide incluir cuatro frutas en cada combinación de jugo, será 5 toma 4:

¡Mira cómo 4! Es 4 (3) (2) (1) = 24. Además, es fácil ver que 5 es el número correcto de combinaciones de jugos posibles: Manzana-Naranja-Plátano-Fresa, Manzana-Naranja-Plátano-Mango, Manzana-Naranja- Fresa-Mango, Manzana-Plátano-Fresa-Mango y Naranja-Plátano-Fresa-Mango.

Triángulo de Pascal

Para construir el triángulo de Pascal , comience con un 1. Luego, en la siguiente fila, escriba un 1 y un 1. Es bueno tener un espacio entre los números. En la tercera fila, tenemos 1 y 1 en las pendientes exteriores. El 2 proviene de sumar los dos números de arriba y adyacentes. Por lo tanto, estamos sumando el número de la izquierda, 1, con el número de la derecha, 1, para obtener 1 + 1 = 2.

En la siguiente fila, el 3 proviene de sumar el 1 y el 2. Este triángulo de Pascal en particular se detuvo en 1 5 10 10 5 1, pero podríamos haber continuado indefinidamente.

La fila superior se llama » fila 0 » y el primer número de la izquierda en cada fila es el » 0 » número. ¿Recuerdas que 5 toma 3 es 10? Cuenta hacia atrás el triángulo de Pascal hasta llegar a la fila 5 (comenzando con 0 para la primera fila). Luego, comenzando por la izquierda, cuente hasta el tercer lugar (el primer número está en el lugar 0). ¿Qué número ves? Correcto, son 10, el mismo resultado calculado usando factoriales.

¿Qué tal el número de combinaciones de 5 a 4? Quinta fila de nuevo, pero en un lugar más a la derecha. Allí hay un 5, que concuerda con el 5 calculado mediante factoriales.

Cada número en el triángulo de Pascal es el número de combinaciones para N toma n . Para resumir esto, aquí está la notación combinada colocada en cada lugar del triángulo de Pascal.

Cuando veas que 5 toman 0, sabes que el número de combinaciones será 5! / (0! 5!). Por definición, el factorial de cero es uno. Es decir, ¡0! = 1. Entonces, el número de combinaciones para 5 toma 0 es 5! / (0! 5!) = 5! / (1 (5!)) = 5! / 5! = 1 como se esperaba.

También puede ver que 4 toma 1 y 4 toma 3 siendo ambos iguales a 4. Esto se debe a que 4 toma 1 es 4! / (1! 3!) Y 4 toma 3 es 4! / (3! 1!) Que son claramente lo mismo. Y 4! / (1! 3!) = 4! / 3! = 4. ¡Nota 1! Es 1 por definición.

Todo esto hace que Jeremy confíe en sus cálculos del número de combinaciones. Puede obtener una respuesta con la fórmula de combinaciones usando factoriales y verificarla con el triángulo de Pascal.

Resumen de la lección

Cuando el orden no importa, tenemos una combinación . Las combinaciones pueden tener repetición o no repetición. Sin repetición, el número de combinaciones es N ! / ( N ! ( N – n )!) Donde factorial es el producto de un número por uno menos que el número, por 2 menos que el número … todo el camino hasta llegamos a 1. Por definición, 1! y 0! ambos son iguales a 1. Las entradas en el triángulo de Pascal son en realidad el número de combinaciones de N toman n donde N es el número de fila que comienza con N = 0 para la fila superior yn es el nel número de la fila contando de izquierda a derecha donde el número n = 0 es el primer número.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador