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Ley de los números grandes: definición, ejemplos y estadísticas

Publicado el 22 noviembre, 2020

La ley de los grandes números

¿Alguna vez has visto un concurso en el que hay un frasco lleno de gominolas, junto con un premio para la persona que adivine cuántos gominolas hay dentro?

Si intenta adivinar, es posible que su respuesta no se acerque demasiado a la cantidad total de caramelos en el frasco. Lo mismo puede ser cierto si promedia las suposiciones de diez personas que lo intentan, pero ¿qué sucede si 1,000 personas cada una hacen una suposición y nosotros promediamos sus suposiciones? Curiosamente, ese promedio probablemente estará mucho más cerca de la cantidad real de caramelos de goma en el frasco.

Yendo más allá, si 10,000 personas hacen una conjetura y promediamos sus conjeturas, ese número se acercará aún más al número real de caramelos de goma en el frasco. Lo que significa que la probabilidad de adivinar la cantidad correcta de caramelos es mayor. De hecho, a medida que aumenta el número de conjeturas, el promedio de las conjeturas se acercará más y más al número real de caramelos. ¡Ésta es la ley de los grandes números en acción!

La teoría de la ley de los grandes números describe el resultado de realizar el mismo experimento una gran cantidad de veces. Usando el ejemplo de nuestro concurso de gominolas, ¿cómo adivinaríamos el valor esperado, en este caso, el número de gomitas en el frasco?

Comenzamos con muestras de n observaciones (donde n representa el número de conjeturas). A continuación, promediamos todas las observaciones. Luego, la media de la muestra (el promedio de todas las conjeturas) se acercará al valor esperado (número real de caramelos en el frasco) a medida que la muestra se haga cada vez más grande.

Ejemplo: lanzamiento de monedas

Otro ejemplo de la ley de los grandes números en acción se encuentra al predecir el resultado de un lanzamiento de moneda. Si lanza una moneda una vez, la probabilidad de que la moneda caiga en cara es del 50% (que también se puede escribir como ½ o 0.5) y la probabilidad de que caiga en cruz también es del 50%.

Pero, ¿qué pasa si lanzas una moneda diez veces consecutivas? ¿Puedes decir con certeza que aterrizará en cara la mitad del tiempo y en cruz la otra mitad? La respuesta es ‘no’ porque cada lanzamiento de moneda es un evento independiente . Esto significa que el resultado de un evento, en este caso el lanzamiento de una moneda, no afectará el resultado del próximo evento.

Es cierto que con cada lanzamiento de moneda tienes un 50/50 de posibilidades de sacar cara; sin embargo, si lanza una moneda repetidamente, no puede estar seguro de que el 50% de los lanzamientos caiga en cara o viceversa, a menos que use la ley de los números grandes. Esto se debe a que la ley de los números grandes dicta que a medida que aumentamos el número de veces que lanzamos la moneda, nos acercamos cada vez más a lograr un 50% de probabilidad de obtener cara o cruz. Por lo tanto, si tiene tiempo para lanzar una moneda miles de veces, puede estar bastante seguro de que casi la mitad de los lanzamientos caerán en cara.

Para ilustrar esto, echemos un vistazo al siguiente cuadro que muestra los resultados de un experimento con diferentes números de lanzamientos de monedas:

Mesa de lanzamiento de monedas

¿Viste el patrón de las probabilidades? Con suerte, ha notado que cuando la moneda se lanza solo unas pocas veces, los resultados no muestran que haya las mismas posibilidades de que caiga en cara y cruz. Lograr un 50% de probabilidad de obtener caras aumentó con cada número considerablemente mayor de lanzamientos. Este es un ejemplo clásico de la ley de los grandes números.

Estadística y probabilidad

Si bien los concursos de lanzamiento de monedas y de adivinanzas de gominolas son ejemplos divertidos de cómo funciona la ley de los grandes números, este principio es una herramienta estadística importante y está detrás de las decisiones que toman todo tipo de empresas que nos afectan. Las compañías de seguros utilizan la ley de los grandes números para determinar la probabilidad de que ocurran eventos, como accidentes automovilísticos. Cuanto mayor sea la cantidad de automóviles que asegura una compañía de seguros, con mayor precisión podrá predecir la probabilidad de que ocurra un accidente. Los resultados de estas predicciones influyen en la forma en que las compañías de seguros determinan los montos de las primas que pagamos.

Resumen de la lección

La ley de los números grandes es una teoría de la probabilidad que establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, más se acercará la media (o el promedio) de las muestras a alcanzar el valor esperado.

Entonces, según los ejemplos que hemos visto anteriormente, cuanto mayor sea el número de conjeturas sobre cuántas gominolas hay en un frasco, más probable será que el promedio de esas conjeturas sea igual al número de gominolas en el frasco. Pero antes de hacer grandes apuestas monetarias sobre la cantidad de gominolas en el frasco, debemos tener en cuenta que la probabilidad, como sugiere el nombre, aún depende del azar.

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