Manipular funciones y resolver ecuaciones para diferentes variables

Publicado el 22 noviembre, 2020

Desafiando lo desconocido

Si usted es como la mayoría de las personas, le gusta que las cosas sean consistentes e iguales. No te gusta el cambio y le temes a lo desconocido. Afortunadamente, hay momentos en los que solo tenemos que enfrentar nuestros miedos, dar un paso al frente y enfrentar lo desconocido.

Las matemáticas están llenas de incógnitas. Y pueden dar miedo. Pero si sigues las reglas y no te asustes, podrás enfrentarte a las incógnitas. Puede manipular y resolver funciones, incluso si tienen más de una variable.

Funciones de manipulación

Las funciones funcionan como una escala, con el signo igual como punto de apoyo o pivote en la escala. Con una báscula o balanza, puede agregar peso a cualquier lado de la báscula y, siempre que los pesos sean iguales, la báscula permanece equilibrada.

Esto también es cierto con una función. Si suma (o resta, multiplica o divide) algo a un lado de la ecuación, debe hacer lo mismo en el otro lado para mantener la ecuación equilibrada.

Por ejemplo, mira esta función

y = x + 5

Puede manipular esta ecuación de muchas formas diferentes, y siempre que realice la misma operación en cada lado del signo igual, su ecuación seguirá siendo igual.

Entonces

y – 2 = x + 5 – 2 o y – 2 = x + 3

y

2 y = 2 ( x + 5) o 2 y = 2 x + 10

Puede utilizar esta regla para manipular funciones de diversas formas. La forma más común es resolver la ecuación, lo que significa manipular la ecuación para aislar una variable.

Mira este ejemplo:

Resuelve para x

x + 3 = 5-3 x

La única forma de resolver esta ecuación es mediante manipulación. Necesitamos tener todos los números en un lado y las variables (en este caso, x ) en el otro lado. No importa qué lado elijas para cada uno.

El primer paso es mover todos los números a un lado de la ecuación. Lo más común es moverlos hacia el lado derecho, así que eso es lo que haremos. La forma de hacer esto es realizar la operación opuesta en cualquier número en el lado izquierdo del signo igual. Para este ejemplo, eso significa que restaremos 3 de cada lado de la ecuación

x + 3 – 3 = 5 – 3 x – 3

Lo que simplifica a

x = 2-3 x

Luego, agregamos 3 x a cada lado de la ecuación para ‘mover’ la variable al lado izquierdo de la ecuación. Recuerde, para mantener la ecuación igual, necesitamos realizar la misma operación en cada lado de la ecuación.

x + 3 x = 2-3 x + 3 x

Lo que simplifica a

4 x = 2

Debido a que 4 x realmente es 4 * x , el siguiente paso es dividir cada lado entre 4. Esto aislará la variable en el lado izquierdo de la ecuación y pondrá todos los números en el lado derecho, resolviendo la ecuación para x .

4 x / 4 = 2/4

Lo que simplifica a

x = ½

Para comprobar nuestra respuesta, podemos sustituir x por ½ y ver si ambos lados de la ecuación permanecen iguales.

x + 3 = 5-3 x

Sustituyendo x por 1/2 , obtenemos

1/2 + 3 = 5-3 (1/2)

Lo que simplifica a

3 ½ = 5 – 1 ½

3 ½ = 3 ½

Dado que la ecuación es verdadera, sabemos que obtuvimos la respuesta correcta y x = ½

Resolver ecuaciones para diferentes variables

Las reglas para resolver ecuaciones y manipular fórmulas aún se aplican cuando las variables son diferentes. También se aplican cuando hay más de una variable en una fórmula o conjunto de fórmulas.

Para resolver ecuaciones con más de una variable, debe tener más de una ecuación.

Probemos este ejemplo

2 x + y = 4

4 y = 2 x + 6

Hay varios métodos para resolver ecuaciones con dos variables. Te demostraré dos de ellos y te dejaré decidir cuál prefieres. Ambos darán la respuesta correcta.

El primer método para resolver una ecuación con dos variables es la sustitución. Estos son los pasos.

1. Manipule una ecuación de modo que una de las variables esté sola en el lado izquierdo de la ecuación.

Esto se puede hacer con cualquiera de las ecuaciones, aunque es mejor elegir la que le dé la menor cantidad de trabajo. En este ejemplo, elegiría obtener la y sola en la ecuación superior porque eso solo implicará un paso. Aislar la y en la segunda ecuación también solo tomará un paso, pero al mirarla, veo que dividir todo entre 4 me dará fracciones en el lado derecho de esa ecuación, con las que siempre es más difícil trabajar. Si la tarea de elegir parece abrumadora, simplemente relájese. Si tiene cuidado, no importará con qué ecuación comience. Y, con la práctica, aprenderá a ver rápidamente con qué ecuación será más fácil comenzar.

Entonces, aislemos la y en la ecuación superior.

2 x + y – 2 x = 4 – 2 x

y = 4 – 2 x

2. Sustituye la nueva ecuación por la variable en la segunda ecuación.

Como ahora sabemos que y es igual a 4 – 2 x , podemos sustituir 4 – 2 x en por y en la otra ecuación. Ahora esa ecuación se verá así.

4 (4 – 2 x ) = 2 x + 6

Ahora podemos resolver esta ecuación para x . El primer paso es restar 2 x de ambos lados, lo que nos da

16 – 10 x = 6

Luego restamos 16 de ambos lados para obtener

-10 x = -10

Dividir por 10 nos da

x = 1

3. Sustituya la variable conocida en cualquier ecuación para obtener el resultado de la otra variable.

Como sabemos que x es igual a 1, podemos resolver fácilmente para y . Nuevamente, no importa qué ecuación uses.

y = 4 – 2 x

Sustituimos x por 1 pulg y obtenemos

y = 4 – 2 (1)

Lo que simplifica a

y = 4 – 2 o y = 2

Ahora hemos resuelto la ecuación y sabemos que

x = 1 y y = 2

Probemos el mismo ejemplo usando el otro método para resolver dos ecuaciones variables. Para este método, el objetivo es poder sumar nuestras ecuaciones y, en el proceso, eliminar una de las variables. La única forma en que esto funcionará es si, cuando agrega, una de las variables tiene una suma de cero.

El ejemplo mostrará lo que quiero decir. Y recuerde, puede hacer lo que quiera con cualquier ecuación, siempre que haga lo mismo en ambos lados de la ecuación.

Recuerde que nuestras ecuaciones de ejemplo son

2 x + y = 4

4 y = 2 x + 6

Lo primero que noto es que las variables x tienen el mismo coeficiente , o número delante de la variable, pero están en lados opuestos de sus ecuaciones. Entonces, mi primera idea es restar 2 x de ambos lados de la segunda ecuación.

Cuando restamos 2 x de ambos lados de

4 y = 2 x + 6

Obtenemos

4 y – 2 x = 6

Ahora podemos sumar las dos ecuaciones y la variable x se eliminará porque 2 + (-2) es cero.

Cuando sumamos las dos ecuaciones, obtenemos

5 y = 10

Este es un problema fácil de resolver. Sólo dividir ambos lados de la ecuación por 5 y usted sabrá lo que y es igual a.

5 y / 5 = 10/5

Lo que significa que

y = 2

El paso final es solo una cuestión de sustituir 2 por y en una de las ecuaciones anteriores para determinar que x es igual a 1.

Resumen de la lección

La manipulación de funciones se puede lograr recordando una regla simple. Para mantener las ecuaciones balanceadas, debes hacer lo mismo con cada lado de la ecuación. Ya sea dividiendo por 3 o sumando 7, siempre que haga lo mismo en ambos lados de la ecuación, permanecerá igual o equilibrada.

La misma regla se aplica cuando intenta resolver ecuaciones con más de una variable. Hay dos métodos para resolver este tipo de ecuaciones. La primera es aislar una de las variables en una de las ecuaciones y luego sustituirla en la segunda ecuación. El segundo método implica sumar ambas ecuaciones para eliminar una de las variables.

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