Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales y logarítmicas

Suponga que acaba de adoptar dos adorables conejitos del refugio de animales local. Durante los próximos cuatro meses, te das cuenta de que se reproducen con tanta frecuencia que la cantidad de conejos que tienes parece duplicarse cada mes.

¿Cuántos conejitos tendrás para fin de año? Para considerar esto, traza los puntos que tienes en tu tabla y ve si puedes hacer alguna estimación.

Verá que la población de conejos comienza a aumentar bastante lentamente, pero luego más rápidamente. Cuando los puntos de datos adoptan este tipo de patrón, indica que los datos deben modelarse utilizando una función exponencial. Las funciones exponenciales son funciones que contienen la variable en el exponente y tienen una forma general y = ab x .

Hmm, ¿cuántos meses habrán pasado para llegar a los 100 conejitos? Haces otra tabla con el número de meses según el número de conejitos.

Una vez más, traza los puntos en un gráfico.

Verá que el número de meses aumenta rápidamente al principio, pero luego más lentamente. Cuando los puntos de datos adoptan un patrón de aumento rápido y luego más lento, se debe utilizar una función logarítmica para modelar los datos.

Una función logarítmica contiene la variable dentro de un logaritmo y tiene la forma general y = a log b ( x ).

¡Excelente! Vemos qué tipos de modelos deberían usarse para modelar los datos en cada instancia, y cuándo usar modelos exponenciales o logarítmicos en general, pero ¿cómo diablos se nos ocurren estos modelos? ¡Calculadoras gráficas al rescate!

Modelar usando una calculadora

Cuando se nos da un conjunto de puntos de datos que adoptan el patrón de una función exponencial o logarítmica, podemos usar una calculadora gráfica para encontrar el modelo que mejor se ajusta a los datos y usarlo para analizar los datos.

Dependiendo de su calculadora gráfica, el proceso puede ser un poco diferente. Los siguientes pasos se basan en el uso de una calculadora gráfica de Texas Instruments.

1. Para ingresar sus datos, presione STAT y elija Editar.
2. Introduzca x -valores en la lista L 1 , y Y -valores en la lista L 2
3. Para encontrar el modelo: Presione STAT, desplácese hasta CALC, luego elija ExpReg (para modelos exponenciales) o LnReg (para modelos logarítmicos).
4. La calculadora necesita saber dónde encontrar los datos. Presione el botón ‘2nd’, luego 1, luego coma (,). Presione el botón ‘2nd’ nuevamente, luego 2. Verá ExpReg L 1 , L 2 o LnReg L 1 , L 2 .
5. Presione Enter para el modelo y los valores.

De acuerdo, hay varios botones para presionar, ¡pero podemos hacer esto! Analicemos nuestros datos de conejos a través de estos pasos.

Modelo exponencial

Comenzando con el modelo exponencial, ingresamos los datos en las listas de nuestra calculadora.

A continuación, presionamos STAT y vamos a nuestro menú CALC. Dado que este es un modelo exponencial, nos desplazamos hacia abajo para elegir ‘ExpReg’. Regresamos a la pantalla principal, por lo que le decimos a la calculadora de dónde obtener los datos ingresando L 1 y L 2 , separados por una coma.

• ExpReg L 1 , L 2

Por último, presionamos enter. La pantalla nos da el modelo exponencial y los valores de una y b .

ExpReg

y = a * b ^ x
a = 1
b = 2

Esto nos dice que la función que queremos usar para modelar los datos es y = 1 ⋅ 2 2 , o y = 2 x , donde y es el número de conejitos y x es el número de meses. Bueno, ¡no es tan difícil!

Modelo logarítmico

Echemos un vistazo al ejemplo logarítmico. Es exactamente el mismo proceso, excepto que ingresamos diferentes valores en nuestras listas.

y elegimos ‘LnReg’ en lugar de ‘ExpReg’. Cuando hacemos esto, el resultado final debería mostrar lo siguiente:

LnReg

y = a + b ln x
a = 0
b = 1.442695041

Por lo tanto, la función que deberíamos usar para modelar el segundo conjunto de datos es y = 0 + 1.4427ln ( x ), o y = 1.4427ln ( x ), donde y es el número de meses, x es el número de conejitos y ln es un logaritmo con base e ≈ 2,71828

Usando los modelos para analizar el problema

¡Esto es genial! Ahora sabemos cómo encontrar funciones exponenciales y logarítmicas para modelar datos usando una calculadora gráfica. ¡Ahora, usemos estos modelos para responder sus preguntas sobre sus conejitos!

La primera pregunta era cuántos conejitos tendrías al final del año o en 12 meses. Para responder a esto, simplemente conectamos x = 12 en nuestro modelo exponencial y resolvemos para y .

y = 2 12 = 4096

¡Guau! Son demasiados conejitos. ¡Creo que es hora de castrar a estos conejitos!

La siguiente pregunta fue ¿cuántos meses habrán pasado cuando haya 100 conejitos? Para responder a esto, conectamos x = 100 en el modelo logarítmico y resolvemos para y .

y = 1,4427ln (100) ≈ 6,64

¡Ay! Vas a tener 100 conejitos en poco más de 6 meses, ¡y ya tienes 4 meses! Sí, ¡definitivamente es hora de castrar a los conejitos!

Resumen de la lección

Las funciones exponenciales son funciones de la forma y = ab x . Las funciones logarítmicas son funciones de la forma y = a log b ( x ). Usamos funciones exponenciales para modelar fenómenos que aumentan lentamente y luego rápidamente, y usamos funciones logarítmicas para modelar fenómenos que aumentan rápidamente y luego lentamente. Para encontrar estas funciones para modelar datos dados, podemos usar una calculadora gráfica.

1. Para ingresar sus datos, presione STAT y elija Editar.
2. Introduzca x -valores en la lista L 1 , y Y -valores en la lista L 2
3. Para encontrar el modelo: Presione STAT, desplácese hasta CALC, luego elija ExpReg (para modelos exponenciales) o LnReg (para modelos logarítmicos).
4. La calculadora necesita saber dónde encontrar los datos. Presione el botón ‘2nd’, luego 1, luego coma (,). Presione el botón ‘2nd’ nuevamente, luego 2. Verá ExpReg L 1 , L 2 o LnReg L 1 , L 2 .
5. Presione Enter para el modelo y los valores.

Una vez que encontramos una función exponencial o logarítmica para modelar datos, podemos usar ese modelo para analizar los datos y responder preguntas al respecto. ¡Las calculadoras gráficas pueden facilitarlo!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador