¿Cuándo multiplicamos vectores?
Algunos números en física tienen una dirección y otros no. Puedes andar en bicicleta por un sendero a 3 millas por hora hacia el norte, pero el termómetro que tienes en tu bicicleta (porque amas tanto la ciencia) no puede experimentar una temperatura de 32 grados al norte. La temperatura no tiene dirección. Por eso, lo llamamos una cantidad escalar , o una cantidad que tiene magnitud (tamaño), pero no dirección. Lo opuesto a esto es un vector , como velocidad, fuerza o campo magnético, que es una cantidad que tiene magnitud (tamaño) y dirección.
Hay cientos de ecuaciones en física y contienen una mezcla de escalares y vectores. Siempre que dos vectores se multipliquen juntos en una de estas ecuaciones, como fuerza multiplicada por desplazamiento (que es trabajo), o la velocidad de una carga multiplicada por campo magnético (que está relacionado con la fuerza magnética), podemos multiplicarlos en dos diferentes formas: multiplicación vectorial (también conocida como producto cruzado) y multiplicación escalar (también conocida como producto escalar).
Cual haces tu Eso depende de la situación exacta. Algunas ecuaciones requieren un producto escalar, mientras que otras requieren un producto cruzado. Generalmente, si la respuesta que busca es una cantidad escalar, será un producto escalar. Pero, si la respuesta que busca es una cantidad vectorial, será un producto vectorial.
Multiplicación escalar
El trabajo es probablemente el ejemplo más simple de una multiplicación escalar de vectores. El trabajo es igual al desplazamiento multiplicado por la fuerza, es decir, cuánto se mueve un objeto multiplicado por la fuerza aplicada para hacer que se mueva. Tanto el desplazamiento como la fuerza son vectores.
Pero, si la fuerza se aplicó en ángulo … digamos, empujando diagonalmente hacia abajo con una escoba mientras bordea el piso, podemos hacer que la definición de trabajo sea más específica. Podríamos decir que el trabajo es igual al desplazamiento multiplicado por la componente de la fuerza que actúa en la dirección del movimiento. Si está empujando la escoba hacia abajo en un ángulo, entonces solo estamos interesados en la parte de la fuerza que apunta a lo largo del piso. Siempre que ese sea el caso en una situación física, estamos haciendo una multiplicación escalar; estamos completando un producto escalar. Entonces, en resumen, una multiplicación escalar es donde se multiplica un vector por el componente de un segundo vector que actúa en la dirección del primer vector.
Producto cruzado de dos vectores, fórmula y ejemplos
Hay dos ecuaciones principales para calcular un producto escalar. Si tiene las magnitudes y los ángulos generales del vector, use esta ecuación:
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Entonces, si estás multiplicando el vector A por el vector B , tomas la magnitud del vector A , lo multiplicas por la magnitud del vector B y lo multiplicas por el coseno del ángulo entre ellos. Entonces, esto sería como tomar su desplazamiento y multiplicarlo por F coseno theta , el componente de la fuerza que actúa en la dirección del desplazamiento.
Pero, ¿qué pasa si le dan una cantidad en forma de componente? Tal vez usted no sabe la magnitud global de un vector, pero lo hace saber el X y Y componentes de A y X y Y componentes de B . En ese caso, usaría la siguiente ecuación y funcionará exactamente igual. Simplemente multiplique los dos componentes x juntos y los dos componentes y (y, si estuviera en 3 dimensiones, haría lo mismo con los dos componentes z ) y súmelos todos.
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Aparte del trabajo, otros ejemplos de productos escalares incluyen la energía potencial magnética (que es el momento dipolar multiplicado por el campo magnético), el flujo magnético (campo magnético multiplicado por el área) y la potencia (fuerza multiplicada por la velocidad).
Cálculos de ejemplo
Bien, ahora veamos un ejemplo.
Ejemplos de Escalares y Vectores: Resumen y diferencias
Digamos que estás arrastrando a tu prima por la calle en una carreta. Debido a lo alto que es, no puede evitar levantarse en ángulo. Le dolería las rodillas si se inclina todo el tiempo. Si tiras en un ángulo de 40 grados con respecto a la horizontal con una fuerza de 50 newtons y el carro se mueve 8 metros en la dirección x positiva, ¿cuánto trabajo se realiza en julios?
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En primer lugar, escribimos lo que sabemos. La fuerza, F , es de 50 newtons y el desplazamiento es de 8 metros. Y, como comentamos anteriormente, el trabajo es la multiplicación escalar del vector de fuerza y el vector de desplazamiento. Si echamos un vistazo al diagrama de la situación (visto arriba), veremos que el ángulo que nos dan, 40 grados, también es el ángulo entre estos dos vectores. Entonces, el ángulo, theta , es de 40 grados. Luego, usando nuestra ecuación de multiplicación escalar, simplemente conectamos los números y resolvemos. 8 multiplicado por 50, multiplicado por el coseno 40, nos da 306 Julios de trabajo. Entonces, esa es nuestra respuesta.
Un ejemplo más. Esta vez uno más abstracto.
Si el vector A está representado por la ecuación 3i + 2j, y el vector B está representado por la ecuación 4i + j, ¿cuál es el producto escalar de estos vectores?
Esta vez, tenemos nuestros vectores en forma de componentes. Por ejemplo, el vector A tiene 3 unidades en la dirección xy 2 unidades en la dirección y . Por lo tanto, podemos utilizar nuestra otra ecuación para este ejemplo, la multiplicación de las x componentes y las Y. componentes y luego sumarlas. Poniendo los números específicos, encontramos que el producto escalar es igual a 3 multiplicado por 4, más 2 multiplicado por 1, que es 14. Entonces, 14 es nuestra respuesta.
Vectores en Cinemática: Definición y fórmula
Resumen de la lección
En física, hay escalares y vectores . Los escalares son solo números, como la temperatura en tu bicicleta. Pero los vectores también tienen una dirección, como la velocidad de tu bicicleta. Siempre que dos vectores se multipliquen juntos en una de estas ecuaciones, como fuerza multiplicada por desplazamiento (que es trabajo) o velocidad de una carga multiplicada por campo magnético (que está relacionado con la fuerza magnética), podemos multiplicarlos de dos formas diferentes: multiplicación vectorial (también conocida como producto cruzado) y multiplicación escalar (también conocida como producto escalar). Algunas ecuaciones requieren un producto escalar, mientras que otras requieren un producto cruzado. Con trabajo, su respuesta es un escalar (no tiene una dirección), por lo que este es un ejemplo de un producto escalar.
Un producto escalar , en pocas palabras, es un vector multiplicado por el componente del segundo vector que apunta en la dirección del primer vector. Entonces, para el ejemplo de trabajo, es el desplazamiento multiplicado por el componente de la fuerza que actúa en la dirección del desplazamiento (la dirección en la que se mueve el objeto).
La primera ecuación de multiplicación escalar dice tomar la magnitud del vector A , multiplicarla por la magnitud del vector B y multiplicar eso por el coseno del ángulo entre ellos. Pero, si le dan sus dos vectores en forma de componentes, necesitará la segunda ecuación. La ecuación de la forma del componente dice que multiplique los dos componentes x juntos y los dos componentes y juntos (y los dos componentes z , si estuviera en 3 dimensiones), y sume todos. Y así es como se calcula un producto escalar.
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya completado esta lección, podrá:
- Diferenciar entre escalares y vectores
- Proporcione dos ecuaciones para calcular productos escalares y explique cuándo usar cada una
- Explica que es un producto escalar
- Resolver problemas usando las dos ecuaciones para productos escalares.
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