Notación de Euler: definición y ejemplo

Números complejos en forma rectangular y polar

Leonhard Euler fue un conocido físico que vivió en el siglo XVIII. Muchos de sus logros involucraron sus contribuciones a la asignatura de matemáticas.

Leonhard Euler

Una de sus muchas contribuciones fue en el estudio de números complejos y su representación exponencial. Antes de que podamos llegar a este tipo de representación de un número complejo, debemos asegurarnos de estar familiarizados con los números complejos en general.

Los números complejos son números que tienen una parte real y una imaginaria. Su forma más básica se llama forma rectangular , y es a + bi , donde a y b son números reales e i es el número imaginario √ (-1). Esta forma rectangular es probablemente la que más conocemos.

Podemos trazar números complejos en un sistema de coordenadas imaginario dejando que el eje x sea ​​el eje real y el eje y sea ​​el eje imaginario. Para graficar a + bi , simplemente movemos horizontalmente a unidades a lo largo del eje real y luego verticalmente b unidades a lo largo del eje imaginario. Si conectamos el punto que graficamos con el origen, creamos una diagonal de un rectángulo con dimensiones a x b . De ahí el nombre de forma rectangular.

Cuando graficamos un número complejo de esta manera, el segmento de línea desde el punto hasta el origen se llama vector complejo . El vector complejo tiene una longitud r y crea un ángulo, θ, con el eje real. Podemos usar estos dos valores para representar el número complejo a + bi en otra forma llamada forma polar como r ∠ θ, donde θ generalmente está en radianes.

La relación entre la forma rectangular y la forma polar de un número complejo se puede describir utilizando las siguientes reglas.

• a = rcos (θ)
• b = r pecado (θ)
• r = √ ( a 2 + b 2 )
• θ = arctan ( b / a )

Por ejemplo, si quisiéramos escribir el número complejo 3 + 4 i en forma polar, podemos encontrar ry θ usando las reglas anteriores.

• r = √ (3 2 + 4 2 ) = √ (25) = 5
• θ = arctan (4/3) ≈ 0.927 radianes

Por lo tanto, tenemos que 3 + 4 i = 5 ∠ 0.927. ¡Con buena pinta!

Forma exponencial de un número complejo (notación de Euler)

Probablemente ya estaba familiarizado con los números complejos en forma rectangular y posiblemente también con los números complejos en forma polar. Ahora, echemos un vistazo a los números complejos en una forma con la que probablemente no esté tan familiarizado, y esa es la forma exponencial.

La forma exponencial de un número complejo a + bi es r e i θ , donde r = √ ( a 2 + b 2 ) y θ = arctan ( b / a ). Recuerde usar radianes (y no grados) para θ en forma exponencial.

Por ejemplo, considere el número complejo 3 + 4 i nuevamente. Ya encontramos r y θ para este número complejo cuando lo escribimos en forma polar. Por lo tanto, podemos escribirlo en forma exponencial reemplazando r = 5 y θ = 0.927 radianes en la fórmula de la forma exponencial.

• 3 + 4 yo = 5 e 0,927 yo

Dado que Euler fue responsable del descubrimiento de esta notación, a menudo llamamos notación de Euler a la forma exponencial de un número complejo . Esta notación en realidad se deriva de una fórmula que se le ocurrió a Euler que establece

• e yo θ = cosθ + yo sinθ

La prueba de esta fórmula tiene que ver con las expansiones de la serie de Taylor y está fuera del alcance de esta lección, pero podemos usar esta fórmula para probar que a + bi = re i θ .

¡Ta-da! Tenemos que a + bi = r e i θ .

Conversión entre formularios

Debido a nuestras fórmulas que relacionan a , b , r y θ, podemos convertir fácilmente entre formas de números complejos. Tenemos eso

• a + bi = r ∠ θ = re yo θ

Todo lo que tenemos que hacer para convertir entre formas es calcular a , b , r y θ usando nuestras fórmulas y luego conectarlas en la forma deseada.

Consideremos un par de ejemplos. Ya vimos convertir 3 + 4 i tanto a la forma polar como a la rectangular, así que consideremos ir al revés. Es decir, suponga que queremos convertir el número complejo 2 e i (π / 6) a forma rectangular.

Tenemos que r = 2 y θ = π / 6, por lo conectamos estos valores en nuestras fórmulas para una y b .

Ahora, simplemente conectamos a = √ (3) y b = 1 en forma rectangular, a + bi , para obtener lo siguiente:

• 2 e i (π / 6) = √ (3) + i

No tan difícil, ¿eh? ¡Probemos uno más! Convirtamos 5 – 2 i de forma rectangular a forma exponencial. Primero, vemos que a = 5 y b = -2, por lo que usamos nuestras fórmulas para encontrar r y θ.

Ahora simplemente conectamos r = √ (29) y θ = -0.38 en forma exponencial para obtener

• 5 – 2 yo = √ (29) e -0,38 yo

Básicamente, hemos descubierto que la conversión entre formularios es simplemente una cuestión de insertar valores en nuestras fórmulas y luego insertarlos en la forma deseada de un número complejo. ¡Eso no es tan malo!

Resumen de la lección

Los números complejos son números con partes reales y partes imaginarias que involucran el número imaginario i = √ (-1). Estos tipos de números se pueden escribir usando tres tipos diferentes de notación:

1. Rectangular: a + bi
2. Polar: r ∠ θ
3. Exponencial ( notación de Euler ): re i θ

Tenemos las siguientes fórmulas que describen la relación entre a , b , r y θ.

• a = rcos (θ)
• b = r pecado (θ)
• r = √ ( a 2 + b 2 )
• θ = arctan ( b / a )

Podemos usar estas fórmulas para convertir fácilmente entre las diferentes notaciones utilizadas para representar números complejos encontrando a , b , r y θ y colocándolos en la notación deseada. Sin duda, hacen que trabajar con números complejos sea un poco más fácil, ¡y se lo debemos todo a Leonhard Euler!