Números perfectos y primas de Mersenne

Jugando con números perfectos

La búsqueda de números perfectos y primos comenzó hace miles de años y continúa hasta el día de hoy. Los números perfectos y los números primos se definen de forma única por sus divisores. Algunos de los números primos descubiertos son números primos de Mersenne. Estos números primos están vinculados a potencias de 2. En esta lección exploramos los números primos de Mersenne y su fascinante relación con los números perfectos.

Sólo por diversión, sume los divisores de 6 sin incluir el 6. Si suma 1 más 2 más 3 da 6. Seis es el número inicial y 6 es la suma. Seis es un número perfecto donde la suma de los divisores (sin incluir el número en sí) es igual al número.

¿Y el número 8?

Primero, encuentra los divisores de 8. Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. ¿Es 8 un número perfecto? Sumando 1 + 2 + 4 da 7 que no es igual a 8. Por lo tanto, 8 no es un número perfecto.

¿Qué tal 3? Los divisores de 3 son 1 y 3. Tampoco es un número perfecto, pero 3 es un número primo , ya que solo tiene dos divisores: el número mismo y 1.

¿Podría un número primo ser un número perfecto? ¿Cuál es la suma del divisor si el número es primo? Correcto, siempre un 1. Por lo tanto, ninguno de los números primos son números perfectos.

¿Listo para otra idea? Hay un tipo especial de número primo llamado primo de Mersenne.

Encontrar Mersenne Primes

Los números primos de Mersenne son números primos que son uno menos que una potencia de 2; escrito de forma compacta como 2 n – 1. Una forma sistemática de encontrar números primos de Mersenne:

• calcule 2 n para n = 1, 2, 3, ….
• restar 1
• comprobar los números primos

En lugar de hacer una búsqueda exhaustiva de inmediato, hagamos n = 2.

Paso 1, calcule 2 n para n = 2. Por lo tanto, 2 2 = 2 (2) = 4.

Paso 2, reste 1 de 4 que es 3.

Paso 3, compruebe si 3 es primo. Los divisores de 3 son solo 3 y 1. Por lo tanto, 3 es primo.

Conclusión: 3 es un primo de Mersenne.

¿Todos los números primos tienen la receta 2 n – 1? ¿Qué tal el número primo 5? Bueno, 5 es primo porque los divisores son 5 y 1. Pero no hay n para 2 n – 1 daría como resultado 5. Aunque 5 es un número primo, 5 no es un primo de Mersenne.

¿Listo para otra idea? Los números primos de Mersenne se pueden usar para encontrar números perfectos.

Uso de Mersenne Primes para encontrar números perfectos

Al tener un primo de Mersenne, se conoce la n . Con este n encontramos un número perfecto usando la fórmula 2 n -1 (2 n – 1). Esta fórmula contiene los 2 números primos de Mersenne n – 1 con un multiplicador de 2 n -1 al frente.

¿Recuerda el número perfecto, 6, y el primo de Mersenne, 3? El n fue 2 en 2 n – 1 para obtener el 3. Ahora, use este n = 2 en 2 n -1 (2 n – 1) para obtener un número perfecto.

2 2-1 (2 2 – 1) = 2 1 (4 – 1) = 2 (3) = 6. Ahí está nuestro número perfecto, 6.

Encontremos los primeros 3 números primos de Mersenne usando una búsqueda sistemática:

• Escriba algunos valores crecientes para n comenzando con n = 1:

• Calcule 2 n para cada uno de estos valores para n :

Por ejemplo, para n = 5, 2 5 es 2 (2) (2) (2) (2) = 2 (4) (4) = 2 (16) = 32.

• Reste 1 de cada resultado:

• De esta lista, elija los números primos:

3 7 31… son los números primos. El número 15 tiene más de dos divisores, por lo que no es primo. Nota: 1 no es primo porque solo tiene un divisor.

Por lo tanto, los primeros tres números primos de Mersenne son 3, 7 y 31 correspondientes an = 2, 3 y 5. Otra observación es que n para los números primos de Mersenne son números primos ellos mismos. Sin embargo, no todos los números primos producirán un número primo de Mersenne. Por ejemplo, n = 11 es primo pero 2 11 – 1 es 2047 que no es un número primo. Los divisores de 2047 son 1, 23, 89 y 2047.

Ahora, para los números perfectos.

• Para n = 2, 3 y 5, calcule 2 n -1 (2 n – 1)

Reconocemos el número perfecto, 6. ¿Qué tal 28? Hagamos los detalles para el cálculo del número perfecto que conduce a 28. Para n = 3, 2 n -1 = 2 3 – 1 = 2 (2) (2) – 1 = 8 – 1 = 7. Este es el número primo de Mersenne. Para el factor anterior, 2 n -1 = 2 3-1 = 2 2 = 4. Entonces, el número perfecto es 2 n -1 (2 n – 1) = 4 (7) = 28. Sumando los divisores: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 7 + 21 = 28. ¡Funciona!

Si desea marcar 496, los divisores son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248. ¿Esta lista se suma a 496? Respuesta: ¡sí!

Resumen de la lección

Un número con solo dos divisores (él mismo y 1) es un número primo . Si un número primo se puede escribir como 2 n – 1 para algún n , el número primo es un primo de Mersenne . Si la suma de los divisores de un número (excluyendo el número en sí) es igual al número, el número es un número perfecto . Los números perfectos están relacionados con los números primos de Mersenne. Para encontrar un número perfecto, calcule 2 n -1 (2 n – 1) donde n es el número utilizado para obtener un número primo de Mersenne.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador