Optimización de sistemas complejos
Cinco pasos para resolver problemas de optimización
Hemos visto que podemos resolver problemas de optimización siguiendo un proceso de cinco pasos. Es: visualizar el problema , definir el problema , escribir una ecuación para él, encontrar el mínimo o máximo para el problema (generalmente las derivadas o puntos finales) y responder la pregunta .
Intentémoslo para un problema más complejo. Tome una hoja de papel de 20 cm de largo por 10 cm de ancho. Corta un cuadrado de cada esquina y dobla la hoja para hacer una caja abierta. ¿Qué tamaño de un cuadrado debe cortar para obtener el mayor volumen de caja?
Paso 1: Visualízalo
El primer paso es visualizarlo. Así que dibujemos en una hoja de papel un rectángulo de 20 cm de largo por 10 cm de ancho. Voy a cortar un cuadrado de cada esquina y doblar la hoja para hacer una caja abierta. En este punto, es posible que desee tomar su propia hoja de papel, cortar las esquinas y doblarla para hacer una caja. He codificado con colores los cuadrados que corté y los bordes adyacentes para crear bordes en la caja. Está bien, lo he visualizado. No sé qué tan grande será cada uno de esos cuadrados. Voy a llamar a esos x cm. Entonces, corté un cuadrado de x -cm de cada esquina de la caja. Cuando hago eso, termino con una caja que tiene 10 – 2 x cm de profundidad, 20 – 2 x cm de ancho y x cm de alto.
Paso 2: definir el problema
Nuestro segundo paso es definir el problema. Que necesitamos saber? Queremos maximizar el volumen. Una vez que tenemos el volumen maximizado, necesitamos saber qué tamaño de cuadrado hemos recortado de cada esquina para obtener ese volumen máximo.
Paso 3: escribe una ecuación
Así que escribamos una ecuación para ello. Aquí está mi caja: mide x alto, 10-2 x profundidad y 20-2 x ancho. El volumen de esa caja es el volumen igual al largo por el ancho por el alto, ov = ( x ) (10 – 2 x ) (20 – 2 x ). Tengo una ecuación y tengo una cosa que puedo cambiar. Puedo cambiar x para maximizar el volumen. Entonces x es mi variable independiente y mi volumen es mi variable dependiente.
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Paso 4: Encuentre el mínimo / máximo
Voy a encontrar el mínimo o máximo de esta ecuación. Escribámoslo. Voy a expandir esto y obtengo 4 x ^ 3 – 60 x ^ 2 + 200 x . Todo lo que hice fue multiplicar x por lo que estaba entre paréntesis (ambos conjuntos), porque no quiero lidiar con ningún paréntesis cuando tomo una derivada. Lo quiero todo escrito. Así que ahora voy a tomar esa derivada, dv / dx , diferenciar el lado derecho y obtendré 12 x ^ 2 – 120 x + 200.
Eso no es tan malo, pero estoy tratando de encontrar el punto crítico de esta ecuación. Es decir, donde la primera derivada es igual a 0. Establezcamos eso en 0 y dividamos ambos lados por 4. Entonces mi punto crítico es donde 0 = 3 x ^ 2 – 30 x + 50. No veo una manera fácil de factorizar esto, entonces voy a usar la fórmula cuadrática para encontrar qué valores de x resuelven esta ecuación. Obtengo x = (30 +/- la raíz cuadrada de (900-600)) / 6. Puedo expandir eso para obtener 5 +/- (la raíz cuadrada de 300) / 6, o 5 +/- (10 * la raíz cuadrada de 3) / 6, que finalmente se simplifica a 5 +/- (5 * la raíz cuadrada de 3) / 3. No me gustan las fracciones ni las raíces cuadradas, así que usaré una calculadora para escribir esto y encontrar los valores dex que resuelven esta ecuación. Es decir, los valores de x que son puntos críticos para mi ecuación de volumen. Esos dos valores son x = 7,89 y x = 2,11.
Consideremos estas dos posibilidades. Quizás uno sea mínimo y el otro máximo. Veamos 7.89; es un gran número. Los números grandes, por la razón que sea, hacen que la gente salte de alegría, pero aquí no. Si x = 7.89, y lo enchufara, mi altura sería 7.89 y el ancho sería 20-2 (7.89), lo que me daría aproximadamente 4. Eso no es tan malo, pero veamos qué tan profunda es la caja sería. Si inserto 7.89 en la ecuación, entonces tengo 10 – 2 (7.89), que es aproximadamente -15 o -16, por lo que toda la ecuación le da un número negativo. De repente, la profundidad de mi caja es negativa, lo que no puede funcionar. No puedo tener un número negativo para la profundidad de una caja. Entonces 7.89 no puede ser una solución. Simplemente no encaja dentro de nuestras limitaciones, así que eliminémoslo.
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¿Qué pasa con x = 2,11? Ahora sé que para tener una caja con lados positivos, x debe estar entre cero y 5. Así que dibujemos una recta numérica y pongamos 2.11 en el medio, 0 en un lado y 5 en el otro. ¿Cuál es el volumen si x = 0? Si x = 0, entonces no hemos quitado ningún cuadrado de los bordes, por lo que tenemos una hoja plana. Ese volumen es cero. Si x = 5 (el otro lado de la recta numérica), entonces hemos sacado 5 cm de cada lado y la profundidad ha bajado a cero. Una vez más, su volumen se va a cero. Sé que el volumen para x = 0 y x = 5 será cero. ¿Qué pasa cuando x= 2,11? ¿Será menor que cero (mínimo) o mayor que cero (máximo)? Si introduzco 2.11 en mi ecuación de volumen, obtengo v = 192.4 cm al cubo. Ciertamente 192,4 es mayor que cero, por lo que x = 2,11 es un máximo para esta ecuación. En este caso, encontramos nuestro mínimo o máximo: el valor de x que nos da el volumen máximo.
Paso 5: Responda la pregunta
Respondamos la pregunta. Volvamos a leerlo, cogemos una hoja de papel de 20 cm de largo por 10 cm de ancho, recortamos un cuadrado de cada esquina y doblamos la hoja para hacer una caja abierta. ¿Qué tamaño de un cuadrado debe cortar para obtener el mayor volumen de caja? Queremos saber qué tan grande es un cuadrado que necesitamos cortar, no cuál será el volumen. Necesitamos cortar un cuadrado que sea x ( x era la longitud del lado del cuadrado), y encontramos que es 2.11 cm. Entonces, nuestro cuadrado que necesitamos cortar para obtener el mayor volumen de caja es 2.11 cm en cada lado.
Resumen de la lección
Este fue un problema de optimización más complejo, y fue complejo principalmente debido a visualizar y definir el problema (y finalmente escribir una ecuación). También puede tener problemas de optimización complejos si hay muchas restricciones. La mayoría de ellos requieren matemáticas más avanzadas. Cuando digo eso, solo me refiero a que hay muchas más ecuaciones que necesitas mirar al mismo tiempo.
Recuerde, si está tratando de resolver un problema de optimización :
- Visualizarlo
- Definirlo
- Escribe una ecuación
- Encuentra el min / max
- Responde la pregunta
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