Optimización de sistemas simples
Cinco pasos para resolver problemas de optimización
Recuerde que los problemas de optimización están en todas partes, pero tenemos una forma de cinco pasos para resolver los problemas de optimización. Debemos visualizar el problema, definir el problema, escribir una ecuación para el problema, encontrar el mínimo o máximo para el problema y luego responder la pregunta. Con estos pasos, podemos resolver la mayoría de los problemas de optimización.
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Probemos uno. ¿Cuál es la cantidad máxima de terreno que puede encerrar en un corral rectangular que tiene un perímetro de 100 m?
Paso 1: Visualízalo
Lo primero que debemos hacer es visualizarlo. Dibujemos esto; Tengo un bolígrafo rectangular. Digamos que va a sostener a mi tortuga (necesita mucho espacio). Aquí está mi bolígrafo rectangular: tiene una altura de h , un ancho de w y un perímetro de 100 m. No sé lo que h y w son ya que no se les dio a mí. En cambio, puedo elegir aquellos para resolver este problema.
Paso 2: definir el problema
El siguiente es el segundo paso, definir el problema. Necesito maximizar el área de la pluma. Estoy limitado por mi perímetro, que tiene que ser igual a 100 m. No tengo ninguna otra restricción, así que necesito maximizar esta área que es realmente el producto de mi ancho y alto de la pluma.
Paso 3: escribe una ecuación
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Escribamos esto como una ecuación: paso tres. El área es la altura por el ancho, pero no sé cuál es la altura o el ancho. Sé que el perímetro de este rectángulo es 2 (alto) + 2 (ancho), y el perímetro tiene que ser 100 m. Cuando conectamos eso, obtenemos 100 = 2 h + 2 w . Nuevamente, area = hw . Casi estoy ahí, pero realmente quiero una ecuación. No sé cómo optimizar dos ecuaciones. Además, tengo tres incógnitas aquí. Estoy tratando de maximizar el área, pero tengo h y w que pueden cambiar.
Deshagámonos de uno de esos. Resolvamos la ecuación del perímetro para el ancho. Entonces, tengo 100 = 2 h + 2 w , que puedo escribir como 50 = h + w (acabo de dividir todo entre 2). Puedo resolver eso restando h de ambos lados y termino con w = 50 – h . Ahora puedo insertar mi ancho en la ecuación de mi área, de modo que mi área solo dependa de la altura. Ahora, tengo una ecuación, A = h (50 – h ), donde h es mi altura y A es mi área.
Paso 4: Encuentre el mínimo o el máximo
Encontrar el mínimo o el máximo es el paso cuatro de nuestro proceso de optimización. Entonces, escribiremos el área, A = h (50 – h ), o A = 50 h – h ˆ2. Voy a encontrar la derivada del área con respecto a h . Cuando diferencio ambos lados, obtengo dA / dh = la derivada del lado derecho con respecto a h , que es 50 – 2 h . Bien, entonces puedo encontrar el punto crítico de esta función estableciendo esa derivada igual a cero ( dA / dh = 0). Cuando es 0, h = 25.
Entonces, si pienso en mi función, A es una función de h , en h = 25, mi función está en un punto crítico. ¿Es un máximo o un mínimo? Buena pregunta. Dibujemos una recta numérica . Pondré h debajo de la recta numérica. 25 está en el medio porque es nuestro punto crítico y 0 está por debajo de h . En realidad, este es el final de nuestro rango: no podemos tener un bolígrafo que tenga una altura negativa. Entonces, 50 es el tope de nuestra gama. Nuestro corral no puede tener más de 50 m de largo porque entonces no tenemos suficiente cerca para cerrar el corral.
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Entonces, ¿cuál es el área cuando h = 0? Bueno, 0 * (50 – 0) = 0. Bien, esa área es 0. En h = 25, tengo 25 (50 – 25) = 625. Eso es mucho más grande que 0, por lo que podría ser un máximo. Cuando h = 50, entonces mi A = 0, porque 50 (50 – 50) = 0. Entonces, h = 25 es nuestro punto crítico, y en ese punto crítico tenemos un área máxima, 625mˆ2.
Paso 5: Responda la pregunta
El último paso en nuestro problema de optimización es responder a la pregunta. Nuevamente, ¿cuál es la cantidad máxima de terreno que puede encerrar en un corral rectangular que tiene un perímetro de 100 m? Si tengo un bolígrafo cuyo perímetro es de 100 m, maximizaré el área al tener un bolígrafo de 25 m de altura, 25 m de ancho y esa área (que responde a la pregunta) es de 625 m2.
Resumen de la lección
En general, para problemas de optimización, si sigue el método de cinco pasos, puede resolver la mayoría de los problemas de optimización. La parte más difícil suele ser escribir una ecuación, pero a veces es definir el problema. Una vez más, estos son los pasos:
- Visualizarlo
- Definirlo
- Escribe una ecuación
- Encuentra el mínimo o el máximo
- Responde la pregunta
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