Polinomios de Chebyshev: aplicaciones, fórmulas y ejemplos

Los polinomios de Chebyshev

Los descubrimientos importantes parecen perdurar en el tiempo. Este es ciertamente el caso de los polinomios de Chebyshev. Siguen utilizándose en muchas áreas de las matemáticas aplicadas, la ciencia y la ingeniería. Veremos dos de esas aplicaciones: síntesis de formas de onda e identidades trigonométricas.

Usando la definición de forma de coseno del polinomio de Chebyshev, exploraremos cómo producir algunas ondas periódicas interesantes a partir de una onda de coseno básica. Además, los polinomios de Chebyshev se utilizarán para probar y derivar algunas identidades trigonométricas.

Síntesis de ondas periódicas

La síntesis de ondas periódicas significa crear formas de onda que repiten un patrón de forma predecible. Un ejemplo familiar es la onda sinusoidal. Por lo general, la variable en el polinomio de Chebyshev es x . ¿Qué pasa si la variable es cos θ en cambio? Antes de responder a esta pregunta, repasemos la forma habitual de definir el polinomio de Chebyshev:

Esta es una ecuación recursiva para el polinomio de Chebyshev, lo que significa que podemos obtener el siguiente polinomio del actual y del anterior. Todo lo que necesitamos es saber T 0 ( x ) = 1 y T 1 ( x ) = x .

Por ejemplo, para obtener T 2 ( x ) usamos T 1 ( x ) (el polinomio actual) y T 0 ( x ) (el polinomio anterior). En este caso, n = 2:

• T 2 ( x ) = 2 x T 2 – 1 ( x ) – T 2 – 2 ( x )
• simplificando: T 2 ( x ) = 2 x T 1 ( x ) – T 0 ( x )
• sustituyendo T 1 y T 0 : T 2 ( x ) = 2 x ( x ) – 1
• simplificando: T 2 ( x ) = 2 x 2 – 1

Entonces, ahora tenemos el polinomio de Chebyshev para n = 2. Podemos continuar este método para producir recursivamente todos los polinomios de Chebyshev. Pero volvamos a nuestra aplicación de la síntesis de ondas periódicas. Hay otra forma de definir el polinomio de Chebyshev usando coseno y coseno inverso:

Por ejemplo, T 0 ( x ) es cos (0 cos -1 x ), que es igual a cos (0), que es 1. ¡Genial! Concordancia perfecta con nuestro resultado anterior para T 0 ( x ). Y T 1 ( x ) = cos (1 cos -1 x ) que es igual a x . Esto también concuerda con nuestro resultado anterior.

Podríamos probar otros valores para n para convencernos de que esto funciona. Pero en cambio, exploremos un aspecto fascinante de esta forma de coseno .

Si x = cos θ. Entonces, T n (cos θ) = cos ( n cos -1 cos θ). Pero cos -1 (cos θ) es solo θ porque el coseno inverso deshace el coseno dejando solo el argumento.

Entonces, T n (cos θ) = cos n θ. Estamos alimentando la función de Chebyshev con un valor de coseno de θ y como resultado un coseno tiene un valor n θ (llamado «armónico» de θ), donde n es un número entero. Controlamos qué armónico se produce mediante nuestra elección de n en T n .

Una onda cuadrada es una onda periódica que tiene bordes afilados como un cuadrado. Se puede construir una onda cuadrada sumando cosenos, siempre que usemos solo los armónicos impares. Para mostrar esto, vamos a sumar algunos polinomios de Chebyshev. Utilizando

• T 1 (cos θ) que es cos θ
• (1/3) T 3 (cos θ) que es (1/3) cos 3θ
• (1/5) T 5 (cos θ) que es (1/5) cos 5θ

obtenemos:

Las líneas punteadas se basan en T 1 , T 2 y T 3

La línea negra continua es la suma de los tres primeros polinomios impares de Chebyshev. ¿Ves cómo la curva negra es una versión «ondulada» de una onda cuadrada? Al agregar más polinomios de Chebyshev, la aproximación de onda cuadrada sería aún mejor.

Desencadenar identidades con los polinomios de Chebyshev

Hasta ahora, tenemos los polinomios de Chebyshev en términos de potencias de x . También podemos escribir potencias de x en términos de polinomios de Chebyshev. Por ejemplo,

y

Estos dos primeros son obvios a partir de nuestro conocimiento de la ecuación de recursión de Chebyshev. Pero que tal

Podemos demostrar que esto es cierto sustituyendo T 0 ( x ) y T 2 ( x ) en el lado derecho.

¿Qué tal x 3 ?

Bien, ¿cómo aplicamos esto a las identidades de trigonometría? Esto es facil. Ya conocemos T n (cos θ) = cos ( n θ). Así,

Esta identidad trigonométrica puede resultarle familiar. Pero que tal

Esta identidad trigonométrica para cos 3 θ se obtiene de nuestra expresión para x 3 .

Puede buscar la expresión general para x n y obtener identidades trigonométricas para cualquier potencia del coseno. ¿Cuan genial es eso?

Resumen de la lección

Hemos examinado algunas de las aplicaciones científicas y matemáticas de los polinomios de Chebyshev. Estas aplicaciones se basan en la ecuación de recursividad para polinomios de Chebyshev. La primera aplicación fue la síntesis de ondas periódicas donde una onda cuadrada se aproxima con la suma de polinomios de Chebyshev. En este caso, el polinomio de Chebyshev se define utilizando cosenos y cosenos inversos. Esta es la forma coseno de los polinomios de Chebyshev. Luego, escribir potencias de x en términos de polinomios de Chebyshev nos dio una forma de probar y definir algunas identidades trigonométricas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador