¿Qué es la notación de funciones? Definición y ejemplos

¿Qué es la notación?

La notación es un sistema de signos o símbolos que representan palabras, números, frases, etc. La notación a menudo está diseñada para un propósito específico y es muy útil para comunicar palabras, números y otras cosas de manera eficiente.

Un buen ejemplo de notación es la notación musical. Este tipo de sistema de notación contiene muchos símbolos y varios tipos de gráficos, y permite a un compositor informar a otros cómo quiere que suene y se interprete su música. La notación musical puede ser intimidante cuando uno se expone a ella por primera vez; sin embargo, una vez aprendido, permite a un músico o aspirante a músico escribir música y aprender la música de otros.

La notación de funciones es un sistema de símbolos que se usa en matemáticas, pero podría decirse que es mucho más fácil de aprender que la notación musical. La notación de funciones es una forma eficiente y eficaz de mostrar funciones de todo tipo en matemáticas. Comencemos con una función lineal. Muchos estudiantes están familiarizados con ver funciones lineales escritas como y = 3 x + 7.

Esta es una función lineal en forma pendiente-intersección. Está escrito con la variable y estándar en términos de la variable x , que es la variable de entrada o variable independiente . Generalmente, así es como los estudiantes aprenden por primera vez a escribir funciones en matemáticas. Es una buena forma de exponer a los estudiantes a las funciones; sin embargo, y = 3 x + 7 no está escrito en notación de función. Llamemos a esta función f . Luego podemos reescribirlo con la notación de función: f ( x ) = 3 x + 7.

Todo lo que hicimos fue reemplazar y con f ( x ), entonces y = f ( x ). Podemos leer este símbolo como el valor de f en xo como f de x . Esta forma de escribir una función nos da más flexibilidad y una mejor forma de comunicar cómo se debe evaluar una función.

Evaluemos esta función cuando x = 5. Con la notación de función, las instrucciones son muy simples: encuentre f (5). Esto nos dice que evaluemos la función f cuando x = 5. En otras palabras, reemplace x con 5 y resuelva: f (5) = 3 (5) + 7 = 15 + 7 = 22.

Probemos con otro ejemplo. Encuentre f (7) para f ( x ) = x ^ 2 – 10 x : f (7) = 7 ^ 2 – 10 (7) = 49 – 70 = -21.

Escribir con notación de función

Aunque es común usar la letra f al escribir la notación de funciones, cualquier letra puede usarse en mayúsculas o minúsculas. También podemos cambiar la letra de la variable de entrada, pero tiende a permanecer en minúsculas. Esta flexibilidad proporciona una valiosa maniobrabilidad en las funciones de escritura.

Digamos que queremos escribir una función para el área de un cuadrado. Podríamos llamar a la función A para el área y usar la letra s para la longitud del lado del cuadrado. Esto nos daría la notación de función de A ( s ) = s ^ 2. Esta notación nos dice que el área de un cuadrado con una longitud de lado de s es s ^ 2.

Usando esta definición de función A , evaluemos lo siguiente: A (6). A (6) = 6 ^ 2 = 36 unidades cuadradas.

Podemos usar la notación de funciones para funciones que tienen múltiples variables de entrada. La fórmula para el volumen de un prisma rectangular es V = lwh . El volumen de un prisma rectangular es función de la longitud ( l ), el ancho ( w ) y la altura ( h ) del prisma .

Podemos escribir esta fórmula usando la notación de función: V ( l , w , h ) = lwh . Evaluemos V (3, 7, 2). La notación de la función nos dice que el prisma rectangular tiene una longitud de 3 unidades, un ancho de 7 unidades y una altura de 2 unidades: V (3, 7, 2) = (3) (7) (2) = 42 cube unidades.

Siempre que se le diga cómo se definen una función y sus variables de entrada, la notación de funciones permite la comunicación eficiente de un problema.

Evaluar funciones

A veces se nos pide que evaluemos una función reemplazando las variables de entrada con expresiones que contienen variables en sí mismas. Por ejemplo, comencemos con la función g ( x ) = x ^ 2 + 5 x – 8. Primero evaluemos g (3): g (3) = 3 ^ 2 + 5 (3) – 8 = 9 + 15 – 8 = 16.

Luego, necesitamos evaluar g ($). Esto parece una solicitud inusual, pero se está utilizando aquí para hacer un punto. La notación de la función solo nos indica que reemplacemos cada x en la función con un signo de dólar: g ($) = $ ^ 2 + 5 $ – 8.

Ahora, evaluemos g ( x – 2). Los estudiantes a menudo luchan con este tipo de problema porque todavía hay una variable para el valor de entrada; sin embargo, solo necesitamos evaluar la función original reemplazando cada x con ( x – 2): g ( x – 2) = ( x – 2) ^ 2 + 5 ( x – 2) – 8.

Foil ( x – 2) ^ 2 y distribuye el 5: x ^ 2 – 4 x + 4 + 5 x – 10 – 8. Combina términos semejantes: x ^ 2 + x – 14. Todavía tenemos una variable en nuestra respuesta, pero eso está bien.

Composición de funciones

La composición de funciones es la combinación de dos funciones. Sea f ( x ) = x + 10 y g ( x ) = x ^ 2 – 1. La composición f de g está definida por la regla f ( g ( x )). Esto significa que necesitamos reemplazar cada x en la función f con la función g de la siguiente manera: f ( g ( x )) = ( x ^ 2 – 1) + 10. Podemos simplificar para obtener x^ 2 + 9. Esta es otra forma de mostrar la composición de dos funciones.

Hallemos ahora la composición de g de f : g ( f ( x )) = ( x + 10) ^ 2 – 1. Podemos simplificar para obtener x ^ 2 + 20 x + 99 (tenga en cuenta que la propiedad conmutativa no se aplica función composición).

Usando las mismas dos funciones, ahora encontremos f ( g (2)). Esta notación nos dice que primero evaluemos g (2): g (2) = 2 ^ 2 -1 = 4 – 1 = 3.

Hemos demostrado que g (2) = 3. Por lo tanto, reemplazamos g (2) con 3 en el problema original y evaluamos la función f : f ( g (2)) = f (3) = 3 + 10 = 13.

La entrada en la función g fue 2, y esto nos dio una salida de 3. Esta salida se convirtió en la entrada en la función f . Finalmente, la función f nos dio la salida de 13.

Resumen de la lección

La notación de funciones es un método refinado y digno de nombrar y evaluar funciones en el contexto de las matemáticas. Al mismo tiempo, la notación de funciones es un concepto simple y fácil de usar. Reconocer y usar la notación de funciones es un paso fundamental para pasar a matemáticas avanzadas, como precálculo y cálculo. Espere ver la notación de funciones en las clases de la escuela secundaria y la universidad e incluso en el lugar de trabajo.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, tendrá la capacidad de:

• Definir la notación de funciones e identificar su propósito
• Recuerda cómo escribir fórmulas con notación de funciones.
• Explica cómo evaluar funciones.
• Describe el proceso de composición de funciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador